Integralkriterium für Reihen anwenden und Diff.barkeit zeigen

28.09.2016, 12:34

forbin

Integralkriterium für Reihen anwenden und Diff.barkeit zeigen

Hallo,

ich würde gerne wissen, ob ihr mir meine Lösung bestätigen könnt.
Zunächst der erste Teil:
Es soll gezeigt werden, dass f(x) für alle $\begin{eqnarray*} x\in(1,\infty) \end{eqnarray*}$ konvergiert.
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{sin^{2}(nx)}{n^{x}+3} \end{eqnarray*}$
Das schätze ich ab und erhalte $\begin{eqnarray*} f(x) < \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}} \end{eqnarray*}$
Nach dem Integralkriterium gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} <=> \int_{1}^{\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ existiert.

Angewendet ergibt das:
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}(\frac{1}{n})^{x} = \left[\frac{n^{1-x}}{1-x}\right]^{\infty}_{1} = \left[\frac{1}{(1-x)\cdot(n^{1-x})}\right]^{\infty}_{1} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{(1-x)\cdot(n^{1-x})} - \lim\limits_{n\rightarrow 1}\frac{1}{(1-x)\cdot(n^{1-x})} = -\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$
Und dies existiert immer, da $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Damit konvergiert auch die Reihe.
Ist das so richtig formal angewendet?

28.09.2016, 13:07

Thorwald

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RE: Integralkriterium für Reihen anwenden und Diff.barkeit zeigen

Zitat:

Original von forbin
Nach dem Integralkriterium gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} <=> \int_{1}^{\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ existiert.

Das stimmt so nicht.

Ich würde hier eher das Verdichtungskriterium bemühen.

28.09.2016, 13:16

forbin

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RE: Integralkriterium für Reihen anwenden und Diff.barkeit zeigen
Wie ist es denn richtig?

28.09.2016, 14:12

Thorwald

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RE: Integralkriterium für Reihen anwenden und Diff.barkeit zeigen
So:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty f(n)\text{ konvergiert }\Leftrightarrow \int_1^\infty f(x)~\dd x\text{ existiert}. \end{eqnarray*}$

28.09.2016, 15:09

forbin

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Ok, aber war ein Tippfehler meinerseits.
Ist das Vorgehen denn richtig?

28.09.2016, 15:20

HAL 9000

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Eine formale Kritik: Da Symbol $\begin{align*} f \end{align*}$ schon durch die eigentliche Reihe in deiner Aufgabenstellung "belegt" ist, würde ich aus Verwechslungsgründen das Integralkriterium dann doch eher mit Funktion $\begin{align*} g \end{align*}$ statt $\begin{align*} f \end{align*}$ formulieren. Und außerdem erwähnen, dass es nicht ohne Voraussetzung an $\begin{align*} g \end{align*}$ gilt - hinreichend wäre etwa Monotonie.

28.09.2016, 17:22

forbin

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k,Monotonie ist ja gegeben.
Stimmt der Verlauf der Rechnung auch?

28.09.2016, 17:30

HAL 9000

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Das Endergebnis stimmt, nur ist das $\begin{align*} n^{1-x} \end{align*}$ überall immer Nenner deplatziert:

Also entweder $\begin{align*} n^{1-x} \end{align*}$ in den Zähler - oder aber $\begin{align*} n^{x-1} \end{align*}$ in den Nenner. So wie oben geht's jedenfalls nicht.

Außerdem solltest du deutlich draufhinweisen, dass du dort über $\begin{align*} n \end{align*}$ integrierst, zumal du im Integralkriterium direkt darüber anscheinend mit Integrationsvariable $\begin{align*} x \end{align*}$ operierst. In so einer Situation das $\begin{align*} \dd n \end{align*}$ dann wegzulassen, ist schon ziemlich fahrlässig zu nennen. Also:

$\begin{align*} \int\limits_{1}^{\infty}(\frac{1}{n})^{x} ~ \dd n = \left[\frac{n^{1-x}}{1-x}\right]^{\infty}_{1} = \left[\frac{1}{(1-x)\cdot n^{x-1}}\right]^{\infty}_{1} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{(1-x)\cdot n^{x-1}} - \lim\limits_{n\rightarrow 1}\frac{1}{(1-x)\cdot n^{1-x}} = -\frac{1}{1-x} = \frac{1}{x-1} \end{align*}$

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