Extrema unter Nebenbedingung

28.09.2016, 14:43

forbin

Extrema unter Nebenbedingung

Hallo,

sind meine Ergebnisse hier richtig?
Es sollen die Extrema der Funktion $\begin{eqnarray*} a\rightarrow det A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Da wende ich Lagrange an:
$\begin{eqnarray*} L(x,y,z,\lambda) = x\cdot z + \lambda(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1) \end{eqnarray*}$ .

Nun bilde ich also:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial x} = z + 2\lambda x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial y} = 2\lambda y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial zx} = x + 2\lambda z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial\lambda} =x^{2}+y^{2}+z^{2}-1 \end{eqnarray*}$

Nun mache ich also eine Fallunterscheidung:
1) $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$
Dann ist z=x=0 und damit $\begin{eqnarray*} y^{2}=1 <=> y=\pm 1 \end{eqnarray*}$

2)y = 0
Dann setze ich: $\begin{eqnarray*} x+2\lambda z = z + 2\lambda x <=> x\cdot(1-2\lambda) = z\cdot(1-2\lambda) \end{eqnarray*}$

Also wieder unterscheiden:
2.1) $\begin{eqnarray*} \lambda\neq \frac{1}{2} => z=x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

2.2) $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Nun bin ich nicht sicher:
Die erste und dritte Gleichung (Null gesetzt) ergeben dann ja: $\begin{eqnarray*} x+z=z+x \end{eqnarray*}$
Also bleibt mir nur die vierte Gleichung mit y=0.
Das führt mich ja dann wieder auf $\begin{eqnarray*} x=z=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Die Extrema sind also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & \pm 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \pm\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank.

28.09.2016, 16:46

klarsoweit

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RE: Extrema unter Nebenbedingung

Zitat:

Original von forbin
2.2) $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Nun bin ich nicht sicher:
Die erste und dritte Gleichung (Null gesetzt) ergeben dann ja: $\begin{eqnarray*} x+z=z+x \end{eqnarray*}$

Genauer muß es heißen: $\begin{eqnarray*} x+z=z+x = 0 \end{eqnarray*}$ und somit z = -x . Lehrer

Entsprechend sieht das Ergebnis etwas anders aus.

28.09.2016, 16:59

forbin

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RE: Extrema unter Nebenbedingung
Forum Kloppe

natürlich

Es kommt also die Lösung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \pm\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \mp\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dazu.

28.09.2016, 20:02

klarsoweit

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RE: Extrema unter Nebenbedingung
Korrekt. smile

28.09.2016, 21:42

forbin

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Damit bin ich dann durch, da alle Fälle abgedeckt sind, richtig?

Vielen Dank smile

29.09.2016, 09:50

klarsoweit

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Nun ja, das sind die möglichen Kandidaten für Extrema. Ob dort tatsächlich Extrema sind, müßte noch weiter untersucht werden.

29.09.2016, 13:12

forbin

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Oh, richtig.
Das heißt, ich muss nun die Hesse Matrix bilden?

29.09.2016, 13:34

klarsoweit

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Ja, wobei sich das bei der Lagrange-Methode etwas komplizierter darstellt. Bitte da mal in die entsprechende Literatur schauen. Ggf. kann man auch mit anderen Überlegungen das Vorliegen eines Extremums begründen.

10.10.2016, 21:15

forbin

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, wobei sich das bei der Lagrange-Methode etwas komplizierter darstellt. Bitte da mal in die entsprechende Literatur schauen. Ggf. kann man auch mit anderen Überlegungen das Vorliegen eines Extremums begründen.

Könnte ich folgendermaßen argumentieren?
Die Determinante von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\pm\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \pm\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , die von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\pm\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \mp\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Da ich diese beiden Kandidaten bei den kritischen Stellen rausbekommen habe, muss es sich also dort um das gesuchte Minimum und Maximum handeln.

Der Fall $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liefert mir 0 als Ergebnis. Es wird sich, da weder größergleich dem Maximum, noch kleinergleich dem Minimum, um einen Sattelpunkt handeln.

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