ML-Schätzer, Randpunkte

28.09.2016, 15:22	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
ML-Schätzer, Randpunkte Man berechne den ML-Schätzer für den Parameter $\begin{eqnarray} \theta>0 \end{eqnarray}$ einer unabhängigen Zufallsstichprobe $\begin{eqnarray} X_1,..,X_n \end{eqnarray}$ mit Dichte $\begin{eqnarray} f_{\theta} (x)= \theta^2xe^{- \theta x} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{\theta} (x)= 0 \end{eqnarray}$ sonst Hallo, Die Maximum Likelihoodfunktion sieht folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} L_X (\theta)= \prod_{i=1}^n \theta^2 x_i e^{- \theta x_i} 1_{x_i>0 } \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x_i>0 \forall 1 \le i \le n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} l_{X} (\theta)= 2n ln (\theta)+ \sum_{i=1}^n ln (x_i) - \sum_{i=1}^n \theta x_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial l_X (\theta)}{\partial \theta}= \frac{2n}{\theta} - \sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray}$ Setze den Ausdruck 0 und erhalte: $\begin{eqnarray} \frac{2n}{\theta}= \sum_{i=1}^n x_i \Rightarrow \theta= \frac{2n}{\sum_{j=1}^n x_i} =\frac{2}{\overline{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 l_X (\theta)}{\partial \theta \partial \theta} = \frac{-2n}{\theta^2} \end{eqnarray}$ also wenn ich an der Stelle einsetze $\begin{eqnarray} \frac{-2n}{\frac{4}{\overline{x}^2}}<0 \end{eqnarray}$ für den Fall $\begin{eqnarray} x_i>0 \forall 1 \le i \le n \end{eqnarray}$ indem wir uns gerade befinden. Frage 1: Ich muss mir ja auch die Randpunkte anschauen ob da nicht das Maximum liegen könnte. Darf ich dazu auch die Loglikelihoodfunktion verwenden? $\begin{eqnarray} \lim_{\theta \rightarrow 0} l_x (\theta)=- \infty \end{eqnarray}$ also hier kein Maximum. Ich dachte nun an den allgemeinen Grenzwertübergang: $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty} ln(x) -x =\lim_{x\rightarrow \infty} ln(x) - ln (e^x)= \lim_{x\rightarrow \infty}ln( \frac{x}{e^x})= - \infty \end{eqnarray}$ deshalb kann auch beim Randpunkt $\begin{eqnarray} \theta \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ kein Maximum sein? Frage 2: Was mache ich für $\begin{eqnarray} x_i \not>0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} 1 \le i \le n \end{eqnarray}$ ? Dann ist die Likelihoodfunktion 0.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »