Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

28.09.2016, 16:31	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz eines uneigentlichen Integrals Ich komme einfach auf keine Lösung. $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^{\infty}\frac{sin(x^{2})}{x^{\frac{5}{2}}}dx \end{eqnarray}$ Ich habe es versucht, abzuschätzen, substituieren... Wer kann mir einen Denkanstoß liefern? Danke!
28.09.2016, 16:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für positive $\begin{align} t \end{align}$ gilt $\begin{align} \|\sin(t)\| \leq \min(t,1) \end{align}$ , und damit $\begin{align} \int\limits_0^{\infty} \frac{\|\sin(x^2)\|}{x^{\frac{5}{2}}} ~ \dd x \leq \int\limits_0^1 \frac{x^2}{x^{\frac{5}{2}}} ~ \dd x ~+~ \int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} ~ \dd x = \int\limits_0^1 x^{-\frac{1}{2}} ~ \dd x ~+~ \int\limits_1^{\infty} x^{-\frac{5}{2}} ~ \dd x \end{align}$ . Beide uneigentlichen Integrale rechts sind endlich.
28.09.2016, 17:04	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichung habe ich leider noch nie gesehen, außer natürlich, dass sin immer kleinergleich 1 ist. Auch verstehe ich den ersten Schritt nicht. Warum ist legitim, einfach den Betrag um den Sinus-Ausdruck zu bilden?
28.09.2016, 17:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht nur um die Existenz des uneigentlichen Integrals, nicht um dessen Wertberechnung. Und für diese Existenz ist es hinreichend, wenn der Betrag uneigentlich integrierbar ist, sprich einen endlichen Integralwert ergibt.
30.09.2016, 22:21	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss ich mir nochmal anschauen, aber vielen Dank schonmal. Gibt's hier im Forum eigentlich keinen "Danke"-Button?

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