Bedingter Erwartungs bei unabhängigen Zufallsvariablen

28.09.2016, 21:29

Dukkha

Bedingter Erwartungs bei unabhängigen Zufallsvariablen

Hallo,

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Seien $\begin{eqnarray*} X,Y\in L^1(\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ zwei unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen.
1. Zeigen sie $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|X+Y)=\frac{1}{2}(X+Y) \end{eqnarray*}$ fast sicher.
2. Ist folgende Gleichung wahr oder falsch? Geben sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an: $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|X\cdot Y)=(X\cdot Y)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nun irgendwie muss ich ja die Unabhängigkeit ausnützen also versuchte ich den Event $\begin{eqnarray*} X+Y \end{eqnarray*}$ umzuschreiben. Aber leider besteht immer eine Abhängigkeit: $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|X=n-j,Y=j)=\frac{\mathbb{E}(X1_{\{X=n-j,Y=j\}})}{P(X=n-j,Y=j)} \end{eqnarray*}$ . Ich habe keine Ahnung was ich machen sollt.

Ausserdem weiss ich nicht wirklich, was ich zeigen muss, damit fast sichere Konvergenz gilt. Genügt es, wenn man zeigt, dass zwischen zwei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} Z,W \end{eqnarray*}$ die gleiche Verteilung gilt und $\begin{eqnarray*} Z-W=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

28.09.2016, 22:57

HAL 9000

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Bedingte Erwartung $\begin{align*} E(U\mid V) \end{align*}$ für zwei Zufallsgröße $\begin{align*} U,V \end{align*}$ heißt ja insbesondere, dass es eine messbare Funktion $\begin{align*} h \end{align*}$ mit $\begin{align*} E(U\mid V) = h(V) \end{align*}$ f.s. gibt.

Nun zur Aufgabe hier: Aufgrund derselben Verteilung sowie der Unabhängigkeit ist Vektor $\begin{align*} (X,Y) \end{align*}$ genauso verteilt wie Vektor $\begin{align*} (Y,X) \end{align*}$ . Das bedeutet insbesondere, dass aus $\begin{align*} E(f(X,Y) \mid g(X,Y)) = h(g(X,Y)) \end{align*}$ dann auch $\begin{align*} E(f(Y,X) \mid g(Y,X)) = h(g(Y,X)) \end{align*}$ folgt. Wenden wir das auf die Funktionen $\begin{align*} f(x,y)=x \end{align*}$ sowie $\begin{align*} g(x,y)=x+y \end{align*}$ an, so folgt

$\begin{align*} E(X \mid X+Y) &= h(X+Y)\\ E(Y \mid X+Y) &= h(X+Y) \end{align*}$

Addieren wir beides, so bekommen wir $\begin{align*} 2h(X+Y)= E(X+Y \mid X+Y)=X+Y \end{align*}$ , und damit die Behauptung.

Zitat:

Original von Dukkha
2. Ist folgende Gleichung wahr oder falsch? Geben sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an: $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|X\cdot Y)=(X\cdot Y)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Man denke nur mal an Zufallsgrößen, die sowohl positive wie negative Werte annehmen kann, und dort dann an das Szenario $\begin{align*} X\cdot Y < 0 \end{align*}$ , dann ist klar, dass diese Behauptung nur falsch sein kann - und es gibt auch gleich einen möglichen Ansatz für ein Gegenbeispiel.

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