Aussagenlogik Negation

30.09.2016, 17:24

steviehawk

Aussagenlogik Negation

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich wurde auf folgende Fragestellung aufmerksam gemacht, bei der ich auch nicht sofort weiter wusste.

Wir haben die Aussage: Seien $\begin{eqnarray*} A, B, C \end{eqnarray*}$ nicht leere Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Formulieren Sie die folgenden Aussagen durch Quantoren und verneinen Sie sie.

Für alle $\begin{eqnarray*} z \in C \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in B \end{eqnarray*}$ , so dass gilt $\begin{eqnarray*} z \leq x+y \leq z+5 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ein Blick auf die Musterlösung zeigt:

$\begin{eqnarray*} \forall z \in C \ \exists x \in A \ \exists y \in B : z \leq x+y \leq z+5 \end{eqnarray*}$

die Negation davon wäre: $\begin{eqnarray*} \exists z \in C \ \forall x \in A \ \forall y \in B : z \geq x+y \lor x+y \geq z+5 \end{eqnarray*}$

Nun könnte man aber ja auch auf die Idee kommen, das UND in der Textaussage konkret aufzuführen. Man hätte dann:

$\begin{eqnarray*} \forall z \in C \ \exists x \in A \wedge \exists y \in B : z \leq x+y \leq z+5 \end{eqnarray*}$

in der Negation würde das eingeführte UND ja zum ODER und ich hätte:

$\begin{eqnarray*} \exists z \in C \ \forall x \in A \lor \forall y \in B : z \geq x+y \lor x+y \geq z+5 \end{eqnarray*}$

was stimmt denn nun?

Danke für die Hilfe

30.09.2016, 17:29

Guppi12

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Hallo, deine Version ist nicht einmal eine korrekte Formel, daher verstehe ich die Frage nicht ganz.
An diese Stelle darf kein logisches und, dort muss eine Aussage stehen.

30.09.2016, 17:40

steviehawk

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RE: Aussagenlogik Negation
Wäre es mit Klammer eine korrekte Formel?

$\begin{eqnarray*} \forall z \in C \ ( \exists x \in A \wedge \exists y \in B ): z \leq x+y \leq z+5 \end{eqnarray*}$

Solche Klammern habe ich noch nie gesehen in einer Quantoren-Schreibweise, deshalb ist das sicherlich Unsinn. Mir geht es "nur" um die Frage, warum das gesprochene bzw. geschriebene und nicht als logisches UND in der Quantoren-Schreibweise auftritt.

LG Stevie

30.09.2016, 17:46

Guppi12

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Nein, das geht auch nicht. Du hast wieder hinter einem Quantor ein und stehen. Das geht so nicht. Ein logisches und verbindet zwei Aussagen. Ein Quantor alleine ist keine Aussage, also kannst du auch nicht zwei Quantoren mit und verknüpfen.

Zu deiner anderen Frage: Man muss eben akzeptieren, dass formale Sprache etwas anderes ist, als Deutsch (oder irgendeine andere Sprache). Man kann nicht einfach einen deutschen Satz nehmen und jedes "und", "für alle" , etc. durch die entsprechenden Symbole ersetzen. Deswegen ist ja auch z.B. der allseits beliebte Allquantor hinter der Aussage, auf die er sich bezieht, völlig falsch platziert.

30.09.2016, 18:17

steviehawk

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Zitat:

Original von Guppi12
Deswegen ist ja auch z.B. der allseits beliebte Allquantor hinter der Aussage, auf die er sich bezieht, völlig falsch platziert.

Meinst du sowas?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \ \ \ , \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

was eigentlich heißen müsste:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : \ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

30.09.2016, 19:40

Dopap

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RE: Aussagenlogik Negation

Zitat:

Original von steviehawk

$\begin{eqnarray*} \forall z \in C \ \exists x \in A \ \exists y \in B : z \leq x+y \leq z+5 \end{eqnarray*}$

Schöner zum Denken geeignet sind diese Schreibfiguren:

$\begin{eqnarray*} \mathop{\bigwedge}\limits_{ z \in C } \mathop{\bigvee}\limits_{ x \in A}\mathop{\bigvee}\limits_{ y \in B}\,z \leq x+y \leq z+5 \end{eqnarray*}$

die Negation dürfte so kein Problem sein Augenzwinkern

30.09.2016, 21:38

Guppi12

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@steviehawk: ja genau. Man dürfte an diese Stelle zwar hinschreiben: "für alle n aus N", der Quantor ist aber nicht ok.

@dopap: wo ist da der Unterschied abgesehen davon, dass die Symbole anders sind?

01.10.2016, 01:48

Dopap

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viel übersichtlicher. z.B. beim Negieren braucht man nur "Umklappen"

09.10.2016, 16:37

steviehawk

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Hallo zusammen, ich wollte nochmals die Frage nach dem richtigen ORT für den Allquantor aufgreifen.

Ich lese in vielen Büchern, zum Beispiel bei der Cauchy-Folge folgenden Definition:

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in einem normierten Raum, heisst Cauchyfolge genau dann wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \ \exists n_{\epsilon} \in \mathbb N : |a_n - a_m| < \epsilon , \forall n,m \geq n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$

hier ist doch der Allquantor auch nicht korrekt gesetzt oder? Liest man sogar in vielen Skripten so!
Ist das nun tatsächlich ein Fehler? Oder nur Geschmacksache?

09.10.2016, 19:45

Dopap

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Ich würde dem letzten Teil keinen Allquantor geben sondern diesen Teil mit "Und" zur Aussage nehmen

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \ \exists n_{\epsilon} \in \mathbb N : |a_n - a_m| < \epsilon \land n,m \geq n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$

09.10.2016, 23:20

Guppi12

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Hallo steviehawk,
du hast Recht, das ist ein Fehler. Dass das so in einem Buch steht, entsetzt mich! Das ist auch keine Geschmacksache. Ich kann verstehen, wenn man den Quantor als Abkürzung für "für alle" nimmt, wenn man gerade an der Tafel schreibt, wo es schnell gehen muss (auch wenn "f.a." nicht wirklich mehr Zeit braucht), in einem Skript oder sogar Buch sollte das aber nicht passieren.

@Dopap: Deine Version ist ebenfalls falsch. Zwar handelt es sich dabei um eine syntaktisch korrekte Formel, sie ist aber sinnentleert, weil n,m hinten nichts mit denen am Anfang zu tun haben.

Edit: Richtig ist $\begin{eqnarray*} \forall\epsilon>0~\exists N\in\mathbb N ~\forall m,n\in \mathbb N ~(m,n\geq N\Rightarrow |a_m-a_n| < \epsilon) \end{eqnarray*}$ oder eben auch die Abkürzung $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0~\exists N\in\mathbb N~\forall m,n\geq N ~|a_m-a_n| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Um die Lesbarkeit zu verbessern, schreibe ich gerne so: $\begin{eqnarray*} \forall_{\epsilon>0}\exists_{N\in\mathbb N}\forall_{m,n\geq N}~|a_m-a_n| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

10.10.2016, 11:30

Dopap

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so ganz wohl war mir dabei nicht, aber das ganze mittels Implikation zu schreiben gefällt mir ausnehmend gut. Und wenn man das ordentlich schreibt - nicht mit den korrumpierten ASCII Zeichen - dann sieht das vorzeigbar aus.

$\begin{eqnarray*} \mathop{\bigwedge}\limits_{ \epsilon > 0}\,\mathop{\bigvee}\limits_{ N \in \mathbb N}\, \mathop{\bigwedge}\limits_{ m,n \in \mathbb N} (n,m) > N \Rightarrow |a_n - a_m|<\epsilon \end{eqnarray*}$

mit deiner Schreibweise bist du schon auf halbem Weg dazu. Augenzwinkern

so jedenfalls kann ich mir den "Cauchy" einrahmen.

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