Dgl3	Neue Frage »

01.10.2016, 10:43

NV21

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Dgl3

Meine Frage:
Hallo Leute wieder ein problem bei einer Aufgabe.
Ich habe leider wieder Start Probleme bei dieser AUfgabe

Weiss jemand wie ich das genau mit der Exaktheit bei der i) zeigen muss?

Bitte um Hilfe.

Auch wenn ich wieder von vielen Leuten belehrt werden werde.

Meine Ideen:
leider keine

Bitte kein shit storm

01.10.2016, 11:11

Mathema

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klick

Wink

01.10.2016, 11:13

Dopap

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ich würde erst mal schaun, was das ist :

https://de.wikipedia.org/wiki/Exakte_Differentialgleichung

Wink

Wink

01.10.2016, 11:28

Nv21

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Soll ich den Term einmal komplett nach x und einmal komplett nach y ableiten ?

01.10.2016, 13:15

Dopap

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es gibt also 2 Funktionen $\begin{eqnarray*} p(x,y(x))\quad und \quad q(x,y(x)) \end{eqnarray*}$ laut wiki sodass exakte Form vorliegt.

dies ist der Fall. benenne erst mal diese Funktionen in deiner DGL im einzelnen

$\begin{eqnarray*} p(x,y(x)):=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q(x,y(x)):=... \end{eqnarray*}$

02.10.2016, 18:29

Nv21

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Soll ich die Funktionen ableiten oder wie ?

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02.10.2016, 18:34

Dopap

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diese Funktionen stecken in deiner exakten DGL. Benenne diese erstmal konkret.

$\begin{eqnarray*} p(x,y)+q(x,y)y'\equiv 0 \end{eqnarray*}$

02.10.2016, 21:59

NV21

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x+p(x,y)+q(x,y)*y´= 0

Das ist die Form oder ?

02.10.2016, 23:31

Dopap

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p und q haben in deiner DGL eine konkrete Darstellung.

03.10.2016, 10:46

Nv21

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1/y(x)?

03.10.2016, 12:42

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \underbrace {x +\frac 1y}_{p}+\underbrace {(- \frac {x}{y^2})}_{q}\cdot y' = 0 \end{eqnarray*}$

03.10.2016, 15:33

NV21

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Aha jetzt verstehe ich es .

Und da es jetzt übereinstimmt ,ist die Dgl exakt ?

03.10.2016, 15:55

Dopap

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yes, ist sie. EDIT: ist nur notwendige Voraussetzung!

Und wenn die Integrabilitätsbedingung

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial q}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y} \end{eqnarray*}$ gilt ... dann ...

ist das der Fall?

steht aber hier ausführlich : https://de.wikipedia.org/wiki/Exakte_Differentialgleichung

03.10.2016, 17:07

NV21

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$\begin{eqnarray*} \underbrace {x +\frac 1y}_{p}+\underbrace {(- \frac {x}{y^2})}_{q}\cdot y' = 0 \end{eqnarray*}$

q Term nach x abgeleitet :

-x*y^{-2}

= Produktregel

-1*y^{-2}-x*0

= -1/y^2

p Term abgeleitet :

-1/y^2

Passt Big Laugh

Big Laugh

Ich kann es doch auch selber . Warum werde ich immer kritisiert Big Laugh

Big Laugh

Puuh jetzt wieder Potential ?

ii)

$\begin{eqnarray*} \underbrace {x +\frac 1y}_{p}+\underbrace {(- \frac {x}{y^2})}_{q}dx/dy= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace {\frac 1y}_{p}+\underbrace {(- \frac {x}{y^2})}_{q}dx/dy= x \end{eqnarray*}$

Bleibe wieder stecken

03.10.2016, 18:35

Dopap

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niemand kritisiert dich unglücklich

unglücklich

aber

ein Vorschlag: geht das mit der Zeit auch in LATEX ?

$\begin{eqnarray*} \underbrace {x +\frac {1}{y(x)}}_{p}+\underbrace {(- \frac {x}{y(x)^2})}_{q}\cdot \frac {\dd y}{\dd x} = 0 \end{eqnarray*}$

beim Integrablitätstest ist zu beachten, dass x eine Variable ist, y(x) ist eine Funktion bei der Ableitung nach x , bei der Ableitung nach y aber eine Variable.

Meiner Meinung nach.

03.10.2016, 20:29

Nv21

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Meinst du das ich falsch abgeleitet oder wie ?

04.10.2016, 10:26

IfindU

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Nein, das stimmt so. D.h. es existiert ein Potential. D.h. es ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} (a,b) \mapsto F(a,b) \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass $\begin{eqnarray*} \partial_a F(a,b) = p(a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial_b F(a,b) = q(a,b) \end{eqnarray*}$ ist.

Dass es eine Funktion gibt, hast du über Exaktheit gerade gezeigt. Das einfachste ist die zu raten, es geht aber auch rigoros, indem man
$\begin{eqnarray*} F(a,b) = \int_1^a p(\tilde a,b) d \tilde a + C(b) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} F(a,b) = \int_1^b q( a,\tilde b) d \tilde b + D(a) \end{eqnarray*}$
explizit ausrechnet, und nach dem Gleichsetzen die additiven Konstanten $\begin{eqnarray*} C(b), D(a) \end{eqnarray*}$ ausrechnet, wobei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nur von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ nur von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängt.,

Edit: Untere Grenze geändert, da $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nicht stetig in $\begin{eqnarray*} (a, 0) \end{eqnarray*}$ sind, für $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ (und vlt auch $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ).

04.10.2016, 11:12

Nv21

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Mein Ansatz für die ii) habe ich ja bereits gepostet .

Kannst du mir sagen wie ich da weiter vorgehen soll ?

04.10.2016, 11:18

IfindU

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Ich habe absolut keine Ahnung was du da getan hast bzw. tun wolltest. Es sind 2 zusammenhanglose, nicht äquivalente Gleichungen zu sehen und du hast einen Term $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , einen anderen $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ genannt.

04.10.2016, 12:51

Nv21

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Wie soll ich sonst bei der ii) vorgehen ?

Kannst du es mir ein wenig erklären ?

04.10.2016, 13:35

IfindU

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Im Beitrag davor habe ich doch gesagt wie man ein Potential $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ finden kann.

04.10.2016, 13:35

Dopap

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Zitat:

Original von IfindU
Nein, das stimmt so. D.h. es existiert ein Potential. D.h. es ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} (a,b) \mapsto F(a,b) \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass $\begin{eqnarray*} \partial_a F(a,b) = p(a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial_b F(a,b) = q(a,b) \end{eqnarray*}$ ist.

Dass es eine Funktion gibt, hast du über Exaktheit gerade gezeigt.

Du hattest also recht, ich war mir nicht sicher und habe deswegen extra einen Thread aufgemacht Integrabilitätstest bei DGL
Es wird dir schon geholfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.10.2016, 13:45

Nv21

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Wusste gar ne das ein Thread aufgemacht wurde .

Danke für die Mühe Dopap

Aber wie muss jetzt bei der ii vorgegangen werden ?

04.10.2016, 16:01

Dopap

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ich hab es so verstanden:

1.) $\begin{eqnarray*} \int _1^a\, (a+\frac 1b)\, \dd a +C(b)\stackrel {!}{=}p(a,b) \end{eqnarray*}$

2.)

das mit der Tilde lassen wir mal weg.

04.10.2016, 16:32

IfindU

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Fast. Ich war wohl undeutlicher als ich wollte. Der Startpunkt ist $\begin{eqnarray*} \partial_a F(a,b) = p(a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial_b F(a,b) = q(a,b) \end{eqnarray*}$ . Um $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, integriert man die erste Gleichung in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und die zweite in $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . So kam ich auf die beiden Integrale. Also ist eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} p(a,b) \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu finden. Also
$\begin{eqnarray*} F(a,b) = \int p(a,b) \text{d} a + C(b) \end{eqnarray*}$ und analog mit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} G(a,b) = \int q(a,b) \text{d} b + D(a) \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} F(a,b) = G(a,b) \end{eqnarray*}$ . Dazu ist eine geeignete Wahl der Konstanten $\begin{eqnarray*} C(b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D(a) \end{eqnarray*}$ nötig.

Edit: Die Grenzen habe ich nur gesetzt, weil das unbestimmte Integral eine Äquivalenzrelation ist, und ich die Konstante lieber explizit dort stehen hatte. Das Detail hat wohl für mehr Verwirrung gesorgt als ich es geholfen hätte. Falls a,b stören, können diese gerne wieder durch x,y ersetzt werden, wobei dann im Hinterkopf zu behalten ist, dass y in dem Fall nicht als Funktion von x aufzufassen ist.

04.10.2016, 21:05

Dopap

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mich stören a und b nicht, das hätte mir mein Nachfragen erspart. Also:

1.) $\begin{eqnarray*} F(a,b) = \int a+ \frac 1b \,\dd a+ C(b)=\frac 12 a^2 +\frac ab +C(b) \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} G(a,b) = \int -\frac {a}{b^2}\, \dd b + D(a)=... \end{eqnarray*}$

@Nv21: mach das mal fertig und versuche die beiden Konstanten wie angegeben zu finden.

05.10.2016, 09:25

Nv21

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- x/y(x)^2 *dy/dx = -x- 1/(y(x) )

X/(y(x)^2* dy =. x+1/y(x) dx

Soll ich die linke Seite Nach y und rechte nach x integrieren ?

05.10.2016, 10:16

Dopap

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Ifindu hat klargemacht, dass y eine Variable und keine Funktion ist. ( war mir anfangs ja auch unsicher ) Deshalb verwenden wir jetzt a und b !

und es wird in beiden Fällen integriert.

Was kommt bei 2.) raus ?

05.10.2016, 15:40

Nv21

Auf diesen Beitrag antworten »

a/b+C?

Jetzt irgendwie nach C auflösen oder wie ?

05.10.2016, 16:37

Dopap

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Zitat:

Original von Nv21
a/b+C?

Jetzt irgendwie nach C auflösen oder wie ?

schreib doch wenigstens Gleichungen
Also:
$\begin{eqnarray*} G(a,b)=\frac ab + D(a) \end{eqnarray*}$ wäre schön gewesen.

die notwendige Bedingung

$\begin{eqnarray*} \partial_a F(a,b) = p(a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial_b G(a,b) = q(a,b) \end{eqnarray*}$ ist nun erfüllt.

Die Konstanten $\begin{eqnarray*} C(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D(b) \end{eqnarray*}$ sind jetzt so zu wählen, dass auch $\begin{eqnarray*} F(a,b)=G(a,b) \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich hoffe das Richtige zu meinen.

05.10.2016, 21:08

NV21

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Dann könnte man auf beiden Seiten z.B C nennen?

Ich verstehe jetzt aber nicht so richtig woher diese a,b Integrale her kommen ?

Oder nimmt man einfach die gegebene DGL und nennt sie mit a und b um ?

Weil das ist mir noch nicht so klar

05.10.2016, 22:35

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich sind a und b gleich x und y.
Damit man nun nicht y mit y(x) verwechselt hat Ifindu einfach diese Variablen in a und b umbenannt.

Integrale deshalb, weil man eine Potentialfunktion sucht.
Die "Konstanten" sollen jeweils Funktionen in jener Variablen sein , nach der nicht integriert wurde. d.h. beim Ableiten nach der anderen Variablen entsteht eine Null.

Beispiel: ( von 2.))

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial}{\partial b }\bigg[\frac ab + D(a)\bigg]= -\frac {a}{b^2} + 0 \end{eqnarray*}$

dasselbe in Grün für 1.) d.h. C(b) und D(a) sind momentan noch unbestimmt.

soweit klar ?

05.10.2016, 22:43

Nv21

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Soll ich also jetzt ableiten ?

05.10.2016, 22:49

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

nicht so schnell posten, lies erst mal meine obige post.

06.10.2016, 09:27

Nv21

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Soweit in Ordnung .

Wie geht es weiter Dopap ?

06.10.2016, 11:50

Dopap

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jetzt soll wohl

$\begin{eqnarray*} \frac 12 a^2+\frac ab +C(b)\equiv \frac ab +D(a) \end{eqnarray*}$ gelten.

Dazu sind geeignete C(b) und D(a) zu finden. Ist sehr einfach!

Dann sind beide seiten gleich und die partiellen Ableitungen einer seite - F(a,b) - genannt
liefern wie gewünscht p(a,b) und q(a,b) und somit ist eine seite =F(a,b) ein Potential.

So habe ich es verstanden.

p.s. indem ich es selbst erkläre, lerne ich endlich, nach der Vorlesung von 1972 , wie das richtig funktioniert mit der exakten DGL Big Laugh

Big Laugh

06.10.2016, 14:56

NV21

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Big Laugh

Wie soll ich aber die geigneten finden ?

Soll ich beide C und D =1 wählen ?

Oder soll ich die linke Gleichung z.B =1 setzen?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

06.10.2016, 16:01

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

mögichst keine Vollzitate!

es soll $\begin{eqnarray*} \frac 12 a^2+\frac ab +C(b)\equiv \frac ab +D(a) \end{eqnarray*}$ gelten.

Dazu sind geeignete C(b) und D(a) zu finden. Ist sehr einfach!

mmh... Ich denke mal hintenherum:

mit $\begin{eqnarray*} D(a)=\frac 12 a^2 \quad und \quad C(b)=0 \end{eqnarray*}$ herrscht offenbar Gleichheit smile

smile

-------------------------------- aber

liefern die partiellen Ableitungen nach b und a von F(a,b) noch zusätzlich die Funktionen p(a,b) und q(a,b) verwirrt

verwirrt

teste das mal.

Im Gegensatz zum Rechnen muss man hier seinen Grips einsetzen, denn es heißt lapidar : gesucht ist eine Funktion F(a,b) mit den Eigenschaften... geschockt

geschockt

zum Trost: ich hab' jetzt auch geraume Zeit zum Verstehen gebraucht.

06.10.2016, 16:54

NV21

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1.) $\begin{eqnarray*} F(a,b) = \int a+ \frac 1b \,\dd a+ C(b)=\frac 12 a^2 +\frac ab +C(b) \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} G(a,b) = \int -\frac {a}{b^2}\, \dd b + D(a)=... \end{eqnarray*}$

partielle Ableitungen von F(a,b) nach a:

1+0+a

b:

0-1/b^2 +b

verwirrt

verwirrt

Stimmt oder?

06.10.2016, 20:16

Dopap

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es gilt ja nun endlich:

$\begin{eqnarray*} \underbrace {\frac 12 a^2+\frac ab +0)}_{F(a,b)}= \underbrace {\frac ab +\frac 12 a^2 }_{F(a,b)} \end{eqnarray*}$

liefern die partiellen Ableitungen nach a und b von F(a,b) noch zusätzlich die Funktionen p(a,b) und q(a,b)

teste das mal.

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