Bijektivität zeigen

01.10.2016, 20:24

Das_asdf_Wort

Bijektivität zeigen

Hallo an alle

Folgende Frage (Die Doppelpfeile sollten so ein einfach Pfeil sein)

Sei X eine Menge. Für alle Teilmengen A $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ X ist die charakteristische Funktion von
A definiert als $\begin{eqnarray*} \aleph_A \end{eqnarray*}$ : X $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ {0,1} mit Abbildungsvorschrift

$\begin{eqnarray*} \aleph_A(x) = \left\{ 1 falls x \in A\right\} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \aleph_A(x) = \left\{ 0 falls x \notin A\right\} \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} \aleph_A(x) \end{eqnarray*}$ soll das aleph Zeichen sein https://de.wikipedia.org/wiki/Aleph-Funktion).

Sei nun $\begin{eqnarray*} ({0,1})^X \end{eqnarray*}$ (es sollte {0,1}^X sein) die Menge der Funktionen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ {0,1}. Ferner bezeichne P(X) die Menge aller Teilmengen von X. Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung eine
Bijektion ist:

P(X) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow{(0,1)}^X \end{eqnarray*}$ (es sollte {0,1}^X sein)
A $\begin{eqnarray*} \Rightarrow\aleph_A \end{eqnarray*}$

Ich habe in den Regeln gelesen, man soll nicht nach Definitionen Fragen, aber ich komme mit der Aufgabenstellung nicht klar. Also würde ich alles erstmal gern übersetzen:

Also A ist eine Teilmenge von X mit einer unendlichen Anzahl von Elementen.
Weiter soll gelten, dass die Kardinalzahl 1 ist, falls x ein Element von A ist. Andernfalls 0. Was Sinn macht, denn mit dem Element x ist A grösser als ohne.
und jetzt steig ich nicht mehr durch. Was soll $\begin{eqnarray*} ({0,1})^X \end{eqnarray*}$ bedeuten? Zugleich versteh ich die Aussage nicht "Sei nun $\begin{eqnarray*} ({0,1})^X \end{eqnarray*}$ (es sollte {0,1}^X sein) die Menge der Funktionen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ {0,1}". Es steht 1:1 so in der Aufgabe. Anstatt der runden klammern, die geschwungenen, aber das habe ich mit dem Editor nicht hinbekommen. Also {0,1}^X. Es ist das Grosse X für die Menge.

Könntet ihr mir dieses {0,1}^X deuten und gleichzeitig vll einen Einstieg in die Aufgabe ermöglichen?

Besten Dank

02.10.2016, 00:15

Guppi12

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Hallo,

höchstwahrscheinlich meinst du kein Aleph, sondern ein kleines Chi. Das sieht so ähnlich aus (nämlich so: $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ ) und ist ein üblicher Bezeichner für genau die von dir erwähnte Funktion. Aleph hingegen verwendet niemand dafür, das wird, wie du richtig verlinkt hast, für die Aleph-Funktion verwandt und hat etwas mit Kardinalzahlen zu tun, da hast du auch was falsch verstanden, deine Aufgabe hat rein garnichts mit Kardinalzahlen zu tun.

Zitat:

Also A ist eine Teilmenge von X mit einer unendlichen Anzahl von Elementen.

Nein, A muss keinesfalls unendlich viele Elemente haben. Das ist eine unnötige Einschränkung und davon steht auch nichts in der Aufgabenstellung. X selbst könnte ja endlich sein.

Zitat:

Weiter soll gelten, dass die Kardinalzahl 1 ist, falls x ein Element von A ist. Andernfalls 0. Was Sinn macht, denn mit dem Element x ist A grösser als ohne.

Nein, das macht überhaupt keinen Sinn, das hast du wie gesagt völlig falsch verstanden. Weder handelt es sich um die Aleph-Funktion noch hat diese Aufgabe irgendwas mit Kardinalzahlen zu tun.

Zitat:

Zugleich versteh ich die Aussage nicht "Sei nun $\begin{eqnarray*} ({0,1})^X \end{eqnarray*}$ (es sollte {0,1}^X sein) die Menge der Funktionen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ {0,1}". Es steht 1:1 so in der Aufgabe. Anstatt der runden klammern, die geschwungenen, aber das habe ich mit dem Editor nicht hinbekommen.

Das kannst du so schreiben: \{0,1\}^X.

Nehmen wir uns mal eine solche Funktion her. Sie startet in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und nimmt nur die Werte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ an. Das ist schon alles, was verlangt wird, es ist also $\begin{eqnarray*} \{0,1\}^X \end{eqnarray*}$ die Menge aller Funktionen, die Argumente in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ annehmen und $\begin{eqnarray*} 0-1- \end{eqnarray*}$ wertig sind. Beispiel für $\begin{eqnarray*} X = \mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to\{0,1\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(n) = 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade ist und $\begin{eqnarray*} f(n) = 1 \end{eqnarray*}$ andernfalls.

Diese Funktion könnte man jetzt auch erhalten, wenn $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Teilmenge der ungeraden Zahlen ist, so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ , hast du den Zusammenhang verstanden? Siehst du vielleicht auch schon, warum diese Zuordnung $\begin{eqnarray*} A\mapsto \chi_A \end{eqnarray*}$ eine Bijektion ist? Das Beispiel oben zeigt schon eine Idee auf, wie man das machen könnte.

02.10.2016, 12:39

Das_asdf_Wort

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Hallo Guppi

Dank deiner Erläuterung habe ich jetzt zumindest die formalen Aspekte besser verstanden. Ich sitze jetzt schon so lange an dem Problem, dass ich sogar Musterlösungen im Netz gefunden habe und der Knopf trotzdem nicht geplatzt ist. Ich denke ich muss die Aufgabe vorerst bei Seite legen.

Trotzdem besten Dank für deine Hilfe

02.10.2016, 14:42

Emily12345

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Hallo

Folgende Lösung steht auf einer Internetseite der ETHZ.

[attach]42675[/attach]

(Sorry, falsches Bild vorher)

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