Ableitung quadratische Form

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Diffo Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung quadratische Form
Meine Frage:
Hey Leute,

ich bin gerade dabei, den Beweis zu verstehen, dass die kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten immer eine Geodätische ist. Der Beweis wird mit Hilfe der Variationsrechnung geführt und an einem Punkt hänge ich ein bisschen. Dort wird gesagt, dass für die Kurve mit der geringsten Länge, die zwei beliebige Punkte miteinander verbindet, gilt:

,

wobei



die Länge dieser Kurve ist und (mit Einsteinscher Summenkonvention)

.

ist der metrische Tensor und die Bogenlänge. Diesen Schritt finde ich nachvollziehbar, aber jetzt geht es an die Ableitung der Funktion . Dort steht:

.

Hier liegt mein Problem. Den ersten Term in den Klammern verstehe ich (ist ja einfach die Kettenregel), aber ich weiß nicht, woher dieser zweite Term kommt. Könnt ihr mir hier weiterhelfen?

Meine Ideen:
Da die Funktion



eine quadratische Form ist, gilt ja



für . Hiermit wird es sicherlich etwas zu tun haben, aber ich steig gerade einfach nicht dahinter, was genau.

Vielen Dank für jede Hilfe smile
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung quadratische Form
Ich gehe davon aus, dass dein zwei Tippfehler enthält: Die Partiellen Ableitungen sind vermutlich immer nach und im zweiten Teil steht .

In dem Fall entsteht der zweite Teil einfach durch die Produktregel: Der erste Term ist die Ableitung nach , der zweite Term die Ableitung nach . Es sieht zunächst so aus als ob eine dritte Ableitung nach fehlt, aber da der metrische Tensor symmetrisch ist, kannst du die Indizes vertauschen und die beiden Ableitungen zu einer einzigen Ableitung zusammenführen (daher die 2 vor dem Term).
 
 
Diffo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung quadratische Form
Hey,

danke für deine Antwort. Du hast recht, die GLeichung für enthält die genannten Fehler. Hab ich leider auch beim Korrekturlesen übersehen.

Ich kann also berechnen (einfach ohne den metrischen Tensor):



Ist das so richtig? Mir ist das Vertauschen der Indices nicht so geläufig, weil ich das noch nicht so lange mache.
Diffo Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, in den ersten Ableitungen soll und in den zweiten im Nenner stehen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Folgendes Integral soll extrem werden



(Der Punkt bedeutet die Ableitung nach s.) Bekanntlich ist eine notwendige Bedingung für das Extremum die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung:



Die Herleitung dieser Gleichung findet man in jedem Buch über Variationsrechnung. Du musst diese Gleichung also nicht selbst herleiten. In deinem speziellen Fall hat der Integrand die Gestalt



Damit kann man die obige Differentialgleichung leicht aufstellen, indem man die darin auftretenden Ableitungen mittels Kettenregel berechnet. Dabei ist zu beachten, dass die Metrik vom Ort abhängt aber nicht von der Ableitung . Als Ergebnis bekommt man die bekannte Geodätengleichung.
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