Messbare Funktion, Fortsetzung

02.10.2016, 11:40	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbare Funktion, Fortsetzung Hallo, Ich verstehe ein Detail eines Beweises nicht: Sei $\begin{eqnarray} A \subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ messbar und $\begin{eqnarray} f:A \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ messbar. Warum ist dann die Funktion die aus f entsteht indem man sie durch 0 auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ fortsetzt immer noch messbar? LG, MaGi
02.10.2016, 12:01	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, f soll sicherlich auch messbar sein? Weise die Definition nach und mach dabei eine Fallunterscheidung, ob die Menge, deren Urbild du untersuchst, die 0 enthält oder nicht.
02.10.2016, 12:29	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. $\begin{eqnarray} \tilde{f}(x)= f(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde{f} (x)=0 \end{eqnarray}$ sonst gZZ.: Das Urbild aller offenen Intervalle ist messbar. Sei $\begin{eqnarray} U \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine offene Menge. Fall 1: $\begin{eqnarray} 0 \in U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde{f}^{-1} (U)= \mathbb{R}^n \setminus A \cup f^{-1} ( U \setminus \{0\}) \end{eqnarray}$ Da A messbar ist, ist auch $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \setminus A \end{eqnarray}$ messbar $\begin{eqnarray} U \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ ist messbar indem ich von einer messbaren Menge ein messbare Menge abziehe. Da f messbar ist, ist auch $\begin{eqnarray} f^{-1} ( U \setminus \{0\}) \end{eqnarray}$ messbar. Daraus folgt auch, dass die Vereinigung der beiden Mengen messbar ist: $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \setminus A \cup f^{-1} ( U \setminus \{0\}) \end{eqnarray}$ Fall2: $\begin{eqnarray} 0 \not\in U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde{f}^{-1} (U)=f^{-1} (U) \end{eqnarray}$ ist messbar da f messbar ist.
04.10.2016, 11:10	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sorry für die später Rückmeldung. Die Idee ist genau richtig, meiner Ansicht nach könntest du aber noch etwas mehr auf darauf eingehen, was es bedeutet, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(U) \end{eqnarray}$ zunächst einmal messbar bezüglich der Spur- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist, also ohne weitere Annahmen nicht $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ -messbar sein müsste. Das ist allerdings sofort klar, wenn man die Definition der Spur- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra erwähnt und weiß, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ messbar ist.
04.10.2016, 23:23	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke dir!

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