Durchmesser eines n dimensionalen Quaders

02.10.2016, 14:38	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchmesser eines n dimensionalen Quaders Sei $\begin{eqnarray} W_k \end{eqnarray}$ ein Würfel im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ( als n-dimensionales Intervall) mit $\begin{eqnarray} s_k \end{eqnarray}$ Kantenlänge. Sei $\begin{eqnarray} x,y \in W_k: \|\|x-a_k\|\| \le \sqrt{n} s_k \end{eqnarray}$ . Wie kommt man darauf im allgemeinen Fall? Ich war versucht mir das ganze induktiv anzuschauen. Im Fall n=1 ist es klar. Im Fall n=2 ist es mit dem Satz des Phytagoras klar: $\begin{eqnarray} \sqrt{2} s= \sqrt{s^2+s^2} =d_1 \end{eqnarray}$ Im Fall n=3 ist es ebenfalls mit dem Satz des Phytagoras gelöst: Bezeichne $\begin{eqnarray} d_2 \end{eqnarray}$ die Raumdiagonale: $\begin{eqnarray} \sqrt{3} s=\sqrt{s^2+( \sqrt{s^2+s^2})^2}=d_2 \end{eqnarray}$ Angenommen die Aussage ist für Würfel in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n-1} \end{eqnarray}$ bereitsgezeigt, wie verallgemeinere ich diese auf den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ohne räumliche Darstellungen? Die Frage ist eher warum kann ich die Konstruktion der Raumdiagonlaen im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ genauso wie im 3-Dimensionalen Quader machen.
27.10.2016, 15:46	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich bin noch immer an einer Antwort interessiert, wenn wer dazu was schreiben kann Liebe Grüße, MaGi
27.10.2016, 16:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie fehlt die Information, wie Punkt $\begin{align} a_k \end{align}$ mit Würfel $\begin{align} W_k \end{align}$ zusammenhängt - ich nehme an, es ist eine der Ecken dieses Würfels? Wenn zudem $\begin{align} \\|x\\|=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2} \end{align}$ die Euklidische Norm in deinem $\begin{align} \mathbb{R}^n \end{align}$ bezeichnet, dann folgt das schlicht durch Abschätzen mit der Definition dieser Norm. Oder willst du eine "Begründung" dafür, warum diese Norm gewählt wurde? Sprengt ein wenig den Rahmen dieser Aufgabe, wenn man hier das Rad neu erfinden will.
04.11.2016, 20:50	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Es geht um einen Beweis in einem Skriptum: Satz: Ist $\begin{eqnarray} A \subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ eine Nullmenge und $\begin{eqnarray} f:A \rightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Lipschitzstetig, so ist $\begin{eqnarray} f(A) \end{eqnarray}$ eine Nullmenge. Beweis: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (W_k)_{k \ge 1} \end{eqnarray}$ eine Folge von Würfeln mit $\begin{eqnarray} A \subseteq \bigcup_{k\ge 1} W_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \lambda_n (W_k) < \epsilon \end{eqnarray}$ . Wir dürfen annmehmen, dass jeder Würfel $\begin{eqnarray} W_k \end{eqnarray}$ ein Punkt $\begin{eqnarray} a_k \in A \end{eqnarray}$ enthält. Ist $\begin{eqnarray} s_k \end{eqnarray}$ die Kantenlänge von $\begin{eqnarray} W_k \end{eqnarray}$ so ist $\begin{eqnarray} \lambda_n (W_k) = s_{k}^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\| x- a_k \|\| \le \sqrt{n} s_k \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in W_k \end{eqnarray}$ (WARUM?). ... Der Beweis geht natürlich noch weiter, aber das weitere verstehe ich dann auch, nur eben diese Bemerkung $\begin{eqnarray} \|\| x- a_k \|\| \le \sqrt{n} s_k \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in W_k \end{eqnarray}$ nicht. In 1,2,3-dimensionalen habe ich mir das schon bewusst gemacht (Beitrag 1).
07.11.2016, 12:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir aus Notationsgründen mal an der Würfel ist $\begin{eqnarray} [0, s_k]^n \end{eqnarray}$ .Alles andere ist nur eine Translation (und ggf. Rotation, je nachdem wie man Würfel definiert hat). Dann ist $\begin{eqnarray} \\| x - a_k \\|^2 = \sum_{\ell = 1}^n \| x_\ell - (a_k)_\ell\|^2 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} x_\ell, (a_k)_\ell \in [0, s_k] \end{eqnarray}$ für all $\begin{eqnarray} \ell \end{eqnarray}$ , ist $\begin{eqnarray} \| x_\ell - (a_k)_\ell\| \leq \| s_k - 0\| = s_k \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \\| x - a_k \\|^2 = \sum_{\ell = 1}^n \| x_\ell - (a_k)_\ell\|^2 \leq \sum_{\ell = 1}^n s_k^2 = n s_k^2 \end{eqnarray}$ . Auf beiden Seiten Wurzel ziehen, und da stehts.

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