Ungleichung zeigen - Induktion

02.10.2016, 14:51

ksgfan

Ungleichung zeigen - Induktion

Hallo zusammen,

Ich muss die Ungleichung zeigen. Ich habe mich überlegt, dass ich das in 3 Schritte mache, mithilfe der Induktion:
1)
(2^n)*n! < (3^n)*n! - trivial (oder?)

2)
n^n < (3^n)*n!

Induktionsschritt:

(n+1)^n+1 < 3^n+1 (n+1)!

Da bekomme ich schlussendlich :

(n+1)^n < 3n^n

Wie kann ich beide Seiten vergleichen?

3)
(2^n)*n! < n^n

Da bekomme ich Widerspruch - Induktionsanfang, n=1 => 2<1

Sind meine Überlegungen korrekt?
Danke
David

02.10.2016, 16:31

klarsoweit

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RE: Ungleichung zeigen - Induktion

Zitat:

Original von ksgfan
Ich muss die Ungleichung zeigen. Ich habe mich überlegt, dass ich das in 3 Schritte mache, mithilfe der Induktion:
1)
(2^n)*n! < (3^n)*n! - trivial (oder?)

Also irgendwie wird nicht wirklich klar, um welche Ungleichung es eigentlich geht. Obige Ungleichung ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} 2^n < 3^n \end{eqnarray*}$ und das wiederum ist ziemlich leicht zu zeigen. Möglicherweise wäre es besser, wenn du mal den kompletten Aufgabentext postest. smile

02.10.2016, 16:45

Thorwald

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RE: Ungleichung zeigen - Induktion
so wie sie da steht, gilt die Abschätzung nach unten nicht für alle n.

im Folgenden siehst Du wie eine etwas schärfere Ungleichung gewonnen werden kann.

Aus der Vorlesung kennst Du sicher:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right)^n\leq e \ \mbox{für alle} \ n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right)^{n+1}\geq e \ \mbox{für alle} \ n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Mit den Identitäten

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac 1k\right)^k=\frac {n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac 1k\right)^{k+1}=\frac {n^n}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

lässt sich dann folgende Ungleichung herleiten:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{en}e^n\leq\frac{n^n}{n!}\leq\frac 1e e^n. \end{eqnarray*}$

03.10.2016, 09:34

ksgfan

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von ksgfan
Ich muss die Ungleichung zeigen. Ich habe mich überlegt, dass ich das in 3 Schritte mache, mithilfe der Induktion:
1)
(2^n)*n! < (3^n)*n! - trivial (oder?)

Hey

Danke für die Antworten!

Ich habe das Bild mit dem kompletten Aufgabentext angehängt.

Thorwald, es kommt erst in 2 Wochen smile

03.10.2016, 12:55

klarsoweit

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RE: Ungleichung zeigen - Induktion

Zitat:

Original von ksgfan
Da bekomme ich Widerspruch - Induktionsanfang, n=1 => 2<1

Wie du an der Aufgabe leicht erkennen kannst, mußt du den Induktionsanfang mit n=6 machen.

Außerdem würde die Kenntnis der folgenden Ungleichungen die Sache erleichtern:

$\begin{eqnarray*} 2 \leq (1 + \frac 1 n)^n \leq 3 \end{eqnarray*}$
Vielleicht sind dir diese schon begegnet. Ansonsten kann man sie auch recht schnell zeigen. smile

03.10.2016, 21:45

ksgfan

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Könntest Du mir bitte ein Link schicken, wo ich mehr erfahren kann? Oder wie nennt man die Ungleichung?

Vielen Dank
David

04.10.2016, 09:02

klarsoweit

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Einen passenden Link habe ich nicht bei der Hand, aber das erste folgt sofort aus der Bernoullischen Ungleichung und das zweite aus der binomischen Formel und geeigneten Abschätzungen.

Ein Blick in Analysis-Bücher kann da auch nicht schaden.

07.10.2016, 13:27

ksgfan

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Man muss Induktionsschritt durch Induktionsanfang teilen, so dass man ein Verhältnis bekommt. Dann einfach ausrechnen.

Danke

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Ungleichung zeigen - Induktion

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