Geschlossene Formel für Summe finden

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Nichtgauß Auf diesen Beitrag antworten »
Geschlossene Formel für Summe finden
Hallo,
Ich bin auf der Suche nach einer geschlossenen Formulierung für:



Ist jetzt nicht gerade das, was ich jeden Tag mache. Vielleicht hat ja jemand eine Idee.
Nichtgauß Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich könnte schwören, gestern lautete das Thema noch anders. Ist das hier üblich, dass der Admin aus halbwegs nachvollziehbaren Überschriften sowas nichtssagendes wie möglich macht?
Falls ja, bin ich dafür aus "Geschlossene Formel finden" einfach "Lösung?" zu machen.
Falls nein, wie wär's damit, darauf hinzuweisen, dass es um eine Summe geht, was dann der originalen Betitelung wieder sehr nahe käme..
Kurz gefragt: Was soll das?

Naja immerhin der Inhalt scheint noch dem originalen zu entsprechen. Kennt jemand ein Kriterium für die Lösbarkeit von Summen. Wenn selbst Wolfram Alpha keine Lösung findet, habe ich so das Gefühl, dass es keine gibt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Offen gesagt, finde ich deine Reaktion etwas überzogen. Deine Anwürfe, wir möchten die Titel in möglichst nichtssagende ändern, sind unhöflich und beleidigend und entsprechen nicht unserem Umgangston.
Du solltest auch bedenken, wer etwas von wem will ...
Ich habe jetzt den Titel in "Geschlossene Formel für Summe finden" geändert.
Zufrieden?
-------
Im Übrigen liegt es im Aufgabenbereich der Moderation, dafür zu sorgen, dass die Titel kurz und prägnant sind und den Inhalt des Threads signifikant kennzeichnen.
Wenn ich mich noch richtig erinnere, hat da vorher so etwas gestanden wie ".. weiss jemand eine Formel für ..." oä.
Im Übrigen wird der Inhalt eines Beitrages von der Moderation - schon aus Gründen der Nachvollziehbarkeit - prinzipiell nicht verändert.
Ausnahmen sind die Kürzung von Komplettlösungen und Korrekturen an LaTeX-Formeln, um deren Lesbarkeit sicherzustellen.

mY+
Nichtgauß Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Eingriff, ehrlich gesagt, mit Humor genommen und auch so geantwortet. In anderen Foren bekommt man eher einen auf den Deckel, bei unspezifischen Überschriften. Daher meine Verwunderung.

Zitat:
Du solltest auch bedenken, wer etwas von wem will ...

Dass jetzt soetwas kommt.. Ich fühle mich genötigt, darauf hinzuweisen, dass es sich nicht um eine "Hausaufgabe" handelt, wie an der eventuellen Unlösbarkeit erkennbar ist.
Was ich will, ist möglichs viele Leute zu erreichen. Und da sind, meiner Erfahrung nach, prägnante Titel hilfreicher.

Zitat:
Ich habe jetzt den Titel in "Geschlossene Formel für Summe finden" geändert.

Das kommt witzigerweise dem nahe, was ich ursprünglich schreiben wollte. Habe mich dann aber für eine persönlichere Variante entschieden..

Jedenfalls Danke, für die erneute Änderung. Damit dürften alle zufrieden sein. Also ich hätte mich lieber über den Inhalt unterhalten.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zum mathematischen:

Mit ein paar Taschenspielertricks sieht man, dass eine geschlossene Form der Summe finden äquivalent zum Finden einer geschlossenen Form von ist. Mit der Wahl und der Linearität der Summe würde sich aus dieser Form
mit ergeben. Also eine Riemann-approximation von ergeben. Aus der Form würde also eine recht explizite Form für die Stammfunktion von geben, von der man aber zeigen kann, dass sie nicht durch `simple' Funktionen dargestellt werden kann.

In kurz: Wenn es eine geschlossene Form gibt, dann ist diese hinreichend kompliziert und mit der Gauss'schen Fehlerfunktion zusammenhängen. D.h. für (oder hinreichend gross) wird man eine Approximation angeben können, für einen genauen Wert sehe ich gerade keine Möglichkeit.
Nichtgauß Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo IfindU, Danke für die Bestätigung.
Ich bin auch ( durch die Methode des "nicht-so-genauen-Hinsehens" Big Laugh ) zum Ergebnis gekommen, dass, wenn überhaupt, irgendetwas mit erf() heraus kommt. Und das ist in den meisten Fälle unpraktikabel, wenn es nicht nur eine mathematischen Spielerei sein soll..

Mich würde jetzt noch interessieren, wie dein Taschenspielertrick ausgesehen hat?! Auch nicht so genau hinsehen?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es war etwas rigoroser. Schließlich ist der Summenwert leicht zu bestimmen (der Nenner ist effektiv dein Exponent) während ein Albtraum ist.

Erst einmal
wie sich leicht nachrechnet. Also ist . Der Vorfaktor spielt keine Rolle, da wir eine endgültige Formel einfach damit multiplizieren können. Setzen wir , so interessieren wir uns für eine Formel von . Da die geraden und ungeraden Zahlen die natürlichen Zahlen partitionieren, haben wir . Jetzt ist .

Setzen wir nun die Funktion , so ist demnach und trivialerweise . Also bzw. .

Ich hoffe habe mich nicht massiv vertan, aber das war die Idee.
Nichtgauß Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich sieht sieht das nachvollziehbar aus, auch ohne dass ich den Zusammenhang mit der Einleitung erkenne.. Big Laugh
Erstmal drauf kommen.. soviel Hirnschmalz habe ich nicht aufgebracht. Wolfram hat mich schon demotiviert.

Wenn ich mir das so ansehe, komme ich auf die "2k-1" nur, wenn ich schon weiß, dass ich auf "k^2" (bzw. "(2k)^2") kommen will, was ich eigentlich aber gerade erst herausfinden wollte.
War der Ansatz quasi "gut geraten"/"bruteforce", oder habe ich da was übersehen?
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Kern Deiner Fragestellung sind ja die Dreieckszahlen im Exponenten der Summanden.

Als Inspiration kannst Du ja mal Euler's Pentagonalzahlensatz betrachten - sofern noch nicht bekannt.

Dieser liefert im Wesentlichen folgende Aussage:

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Der Anfang meines Posts wollte nur motivieren, dass `nicht so genau hinschauen' das Problem deutlich erschweren kann, und ich daher etwas rigoroseres wollte.

Der Startpunkt war quadratische Ergänzung, wie man es so ziemlich immer will wenn etwas quadratisches auf "Normalparabel" runterbrechen will, hier auf für ein .

Als ich das hatte, ist mir aufgefallen, dass es die ungeraden Zahlen durchläuft. Von da aus habe ich mich noch an den Trick erinnert zu bestimmen, wenn man weiß dass -- ist genau das was ich hier auch gemacht habe.
Nichtgauß Auf diesen Beitrag antworten »

Jau, sehe ich ein. Dann noch naheliegenderweise auf ganze Zahlen erweitern..

Ne, weder "Dreieckszahlen" noch "Pentagonalzahlen" waren mir bekannt - natürlich nur vom Begriff her. Nach dem "kleinen Gauß" hörte es schon auf..

Also nochmal Danke euch!
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