Grenzwert einer Folge finden

03.10.2016, 18:41

Mandarinchen

Grenzwert einer Folge finden

Meine Frage:
Huhu,
Ich soll für die Grenzwerte der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{4n - 1}} \end{eqnarray*}$ untersuchen, und zwar muss ich für E = $\begin{eqnarray*} 10^{-3} \end{eqnarray*}$ und E = $\begin{eqnarray*} 10^{-9} \end{eqnarray*}$ ein konkretes $\begin{eqnarray*} n_{0} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} |a_{n} | \end{eqnarray*}$ < E für alle n $\begin{eqnarray*} \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ . Ich soll auch mit der Grenzwertdefinition zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert. (Das E sollte ein Epsilon sein, das hat's mir in der Vorschau als Fragezeichen angezeigt)

Meine Ideen:
Es fällt mir trotz stundenlangem Nachschlagen und Internet-durchsuchen schwer, das Prinzip der Grenzwerte zu verstehen, und noch bin ich auf keinen grünen Zweig gekommen. Ich habe folgendes versucht: $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{4n - 1}} \end{eqnarray*}$ < E, dann ist n > $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{4(10^{-3}) - 1}} \end{eqnarray*}$ . Das gibt aber im Teiler eine negative Zahl, und ich weiss nicht, wie ich mit diesem Ergebnis umgehen soll. Ich wollte versuchen, die Gleichung nach E aufzulösen, das funktioniert aber auch nicht.

Ich wäre sehr dankbar um jegliche HIlfe! smile

03.10.2016, 19:00

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge für ? finden?

Zitat:

Original von Mandarinchen
Ich habe folgendes versucht: $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{4n - 1}} \end{eqnarray*}$ < E, dann ist n > $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{4(10^{-3}) - 1}} \end{eqnarray*}$ .

Abgesehen davon, daß die Ungleichung n > a_n keinen Sinn ergibt, mußt du die $\begin{eqnarray*} 10^{-3} \end{eqnarray*}$ für epsilon einsetzen und nicht für n. Dann mußt du schauen, ob du ein n_0 finden kannst, so daß die Ungleichung für alle n > n_0 erfüllt wird.

Bildlich gesprochen steht dahinter die Frage, ob man das a_n nahe genug an die Null heranprügeln kann, wenn man nur das n groß genug macht.

Im Grunde ist das alles noch Schulmathe, ist aber auch Teil der Analysis-I-Vorlesung.

03.10.2016, 20:27

Mandarinchen

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Vielen Dank für deine Antwort, klarsoweit! Grenzwerte begegnen mir im Studium zum ersten Mal, deshalb habe ich die Frage ins Hochschulforum gepostet. (Kann aber wenn nötig gerne von verschoben werden, ich denke ich werde meine nächsten Fragen lieber ins Schulmatheforum posten weil meine Kenntnisse so beschränkt sind *schäm* )

Ich habe nun $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{4n_{0}-1 } } < 10^{-3} \end{eqnarray*}$ aufgelöst und bekam dafür 250000.25 < $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das soweit, oder muss ich nun noch 1 addieren, um $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ und damit die Lösung zu bekommen?

03.10.2016, 21:16

mYthos

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Nun, nachdem n > 250000.25 sein muss, musst du für für n0 = 250001 nehmen! Die Indices ("Indexe") stammen übrigens immer aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$
Denn erst ab dem Index $\begin{eqnarray*} n_0=250001 \end{eqnarray*}$ liegen alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 250001 \end{eqnarray*}$ innerhalb dieser kleinen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Umgebung, $\begin{eqnarray*} a_{250000} \end{eqnarray*}$ liegt noch draussen Big Laugh

03.10.2016, 22:49

Mandarinchen

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Vielen lieben Dank für deine Antwort, das macht Sinn! Big Laugh

Jetzt muss ich noch mit der Grenzwertdefinition zeigen, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Ist der Ansatz $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a| < ... < E \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} | 1 - \frac{1}{\sqrt{4n-1} } | \end{eqnarray*}$ da richtig?

03.10.2016, 23:50

mYthos

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Mit $\begin{eqnarray*} |a_n| < \epsilon \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |a_n - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$ (gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ) wurde doch schon die Konvergenz für a = 0 gezeigt.
Wenn man also auf diese Weise die Konvergenz untersucht, geht auch bereits der (bekannte oder vermutete) Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in die Ungleichung ein, welche nur für diesen Grenzwert erfüllt sein kann.
Die Lösungsmenge für die Indices $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ muss eine unendliche Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein (innerhalb der $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Umgebung liegen fast alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , d.s. unendlich viele, ausgenommen endlich viele, die sich ausserhalb befinden).

Andernfalls ist der angenommene Wert für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ NICHT der Grenzwert der Folge.

mY+

04.10.2016, 09:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mandarinchen
Ist der Ansatz $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a| < ... < E \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} | 1 - \frac{1}{\sqrt{4n-1} } | \end{eqnarray*}$ da richtig?

Die Frage ist allerdings auch, was da für die Pünktchen stehen soll und was du mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} |1 - \frac{1}{\sqrt{4n-1}}| \end{eqnarray*}$ sagen willst.

Übrigens: epsilon in Latex macht man mit \epsilon. smile

04.10.2016, 14:55

Mandarinchen

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Danke für die Antworten! Ich habe mir die Grenzwertdefinition nochmals angeschaut und mein Ansatz ist falsch. Ich soll ja mit der Grenzwertdefinition zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{4n-1} } \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert.
Mein neuer Ansatz ist nun: $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\sqrt{4n-1} }| = \frac{1}{\sqrt{4n-1} } < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ . Mein nächster Schritt war $\begin{eqnarray*} n_{0} > \frac{1}{\sqrt{4 \epsilon - 1} } \end{eqnarray*}$ Wie kann ich diese Behauptung nun beweisen? Es muss ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{4n - 1} } \leq \frac{1}{\sqrt{4n_{0} - 1} } < \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Vielen Dank für eure Hilfe!

04.10.2016, 15:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mandarinchen
Mein nächster Schritt war $\begin{eqnarray*} n_{0} > \frac{1}{\sqrt{4 \epsilon - 1} } \end{eqnarray*}$

Ich frage mich, wo du das herzauberst? verwirrt

04.10.2016, 16:11

Mandarinchen

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Aus meinem Mathebuch, ist aber möglich, dass ich da was falsch interpretiert habe :/

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

05.10.2016, 08:42

klarsoweit

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Du willst doch erreichen, daß $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{4n-1} } < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist, wenn das n nur groß genug ist. Also würde ich mal diese Ungleichung hernehmen und nach n umstellen.

05.10.2016, 14:10

Mandarinchen

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Danke für den Ansatz, das macht Sinn! smile

Ich habe jetzt nach n umgestellt und bekommen: $\begin{eqnarray*} \epsilon^{-2} < n \end{eqnarray*}$ . Beweist dies nun, dass die Folge gegen 0 konvergiert, weil es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gibt, dass grösser als 0 ist? Wo kommt das $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ ins Spiel? Sorry, ich steh echt auf dem Schlauch in diesem Thema und muss die Aufgabe morgen abgeben traurig

05.10.2016, 15:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mandarinchen
Ich habe jetzt nach n umgestellt und bekommen: $\begin{eqnarray*} \epsilon^{-2} < n \end{eqnarray*}$ .

Prinzipiell ist das Ergebnis korrekt. Ich würde aber trotzdem gerne mal die Herleitung sehen.

Zitat:

Original von Mandarinchen
Beweist dies nun, dass die Folge gegen 0 konvergiert, weil es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gibt, dass grösser als 0 ist? Wo kommt das $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ ins Spiel?

Das beweist eher, daß du die Definition des Folgengrenzwerts noch nicht verinnerlicht hast. Ich wiederhole diese daher in einer leicht abgewandelten Formulierung:

Zu jedem beliebigen epsilon > 0, das du dir aussuchen darfst und mir dann nennen mußt, finde ich ein n_0, so daß die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_n - g| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n mit n > n_0 erfüllt wird.
Anders gesagt: egal, welches epsilon du dir aussuchst, es gibt nur endlich viele Folgenglieder a_n mit $\begin{eqnarray*} |a_n - g| \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Im Falle des Grenzwerts g=0 und positiven Folgenglieder a_n reduziert sich die Ungleichung zu $\begin{eqnarray*} a_n < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Zu deiner Frage: Beweist dies nun, dass die Folge gegen 0 konvergiert, weil es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gibt, dass grösser als 0 ist?
Das epsilon ist immer größer Null. Die eigentliche Frage ist: gelingt es, die Folgenglieder a_n zwischen Null und dem epsilon "einzuquetschen", wobei es nur endlich viele Ausnahmen gibt, egal wie klein ich auch das epsilon wähle?

Dazu nehmen wir deine gefundene Ungleichung $\begin{eqnarray*} \epsilon^{-2} < n \end{eqnarray*}$ . Wir wählen nun ein n_0 mit $\begin{eqnarray*} n_0 > \frac{1}{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$ . Sei nun n > n_0 beliebig. dann ist: $\begin{eqnarray*} 4n-1 > n > n_0 > \frac{1}{\epsilon^2} \Rightarrow \frac{1}{4n-1} < \epsilon^2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4n-1}} < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Damit haben wir also zu dem epsilon ein n_0 gefunden, so daß $\begin{eqnarray*} a_n < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist. Somit ist (siehe Definition des Grenzwerts) der Grenzwert der Folge (a_n) gleich Null.

Ich hoffe, daß sich nun der eine oder andere Nebel etwas lichtet. Augenzwinkern

05.10.2016, 16:04

Mandarinchen

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Vielen, vielen Dank klarsoweit, du bist echt ein Lebensretter (oder zumindest Mathenotenretter)! Ich wünschte, der Dozent hätte die Definition des Grenzwerts so erklärt wie du, dann hätte ich vielleicht nicht x doofe Fragen stellen müssen.
Du wolltest noch meine Herleitung für $\begin{eqnarray*} \epsilon^{-2} < n \end{eqnarray*}$ sehen, da habe ich folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{4n-1} } < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 < \epsilon \sqrt{4n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 < \epsilon^{2}4n-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 < \epsilon^{2}4n \end{eqnarray*}$ ...... $\begin{eqnarray*} /:4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0.25 < 0.25 \epsilon^{2}n \end{eqnarray*}$ ...... $\begin{eqnarray*} /:0.25 \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon^{2}} < n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \epsilon^{-2} < n \end{eqnarray*}$

06.10.2016, 08:59

klarsoweit

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Leider hast du zwischen den einzelnen Ungleichungen keine Implikations- oder Äquivalenzpfeile geschrieben, so daß es schwer wird, über den Wahrheitsgehalt der Umformungen zu befinden. Dennoch ein paar Anmerkungen:

Zitat:

Original von Mandarinchen
$\begin{eqnarray*} 1 < \epsilon \sqrt{4n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 < \epsilon^{2}4n-1 \end{eqnarray*}$

Sollte hier $\begin{eqnarray*} 1 < \epsilon \sqrt{4n-1} \Leftrightarrow 1 < \epsilon^{2}4n-1 \end{eqnarray*}$ gemeint sein, so ist die Umformung auf Basis des Quadrierens beider Seiten falsch.

Korrekt wäre: $\begin{eqnarray*} 1 < \epsilon \sqrt{4n-1} \Leftrightarrow 1 < \epsilon^{2}(4n-1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mandarinchen
$\begin{eqnarray*} 2 < \epsilon^{2}4n \end{eqnarray*}$ ...... $\begin{eqnarray*} /:4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0.25 < 0.25 \epsilon^{2}n \end{eqnarray*}$ ...... $\begin{eqnarray*} /:0.25 \epsilon \end{eqnarray*}$

Diese Umformung läßt das Blut in dern Adern gefrieren. geschockt

Division beider Seiten durch 4 führt zu diesem Ergebnis: $\begin{eqnarray*} 0.5 < \epsilon^{2}n \end{eqnarray*}$

Machbar ist folgendes:
$\begin{eqnarray*} 1 < \epsilon \sqrt{4n-1} \Leftrightarrow 1 < \epsilon^{2}(4n-1) \Leftarrow 1 < \epsilon^2 \cdot n \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon^{2}} < n \end{eqnarray*}$

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