Dezimalzahlen als Brüche und unendliche Reihen schreiben

03.10.2016, 21:19

Bernie12345

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Dezimalzahlen als Brüche und unendliche Reihen schreiben

Meine Frage:
Guten Abend,
Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter, bei der ich Dezimalentwicklungen als unendliche Reihen und als Brüche schreiben muss.
Das erste Beispiel ist 4.569 (Periode über 569)

Meine Ideen:
Ich habe versucht, die unendliche Reihe zu bilden: 4 + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{6}{100} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{9}{1000} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2000} \end{eqnarray*}$ + ... . Wie kann ich das nun als eine Summenformel und schliesslich als Bruch schreiben? Ich komme leider nicht mehr weiter :/

Danke für alle Antworten!

04.10.2016, 06:31

Leopold

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Du mußt nur passend sortieren:

$\begin{align*} 4{,}\overline{569} = 4 + 5 \cdot \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10000} + \ldots \right) + 6 \cdot \left( \frac{1}{100} + \frac{1}{100000} + \ldots \right) + 9 \cdot \left( \frac{1}{1000} + \frac{1}{1000000} + \ldots \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = 4 + \frac{5}{10} \cdot \left( 10^0 + 10^{-3} + \ldots \right) + \frac{6}{100} \cdot \left( 10^0 + 10^{-3} + \ldots \right) + \frac{9}{1000} \cdot \left( 10^0 + 10^{-3} + \ldots \right) \end{align*}$

Jetzt verwende die geometrische Reihe mit $\begin{align*} 10^{-3} = \frac{1}{1000} \end{align*}$ als Basis. Einfacher geht es übrigens, wenn du

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ x = 4{,}\overline{569} \end{align*}$

mit 1000 multiplizierst:

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ 1000x = 4569{,}\overline{569} \end{align*}$

dann $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ von $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ subtrahierst und nach $\begin{align*} x \end{align*}$ auflöst.

04.10.2016, 15:29

Bernie12345

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Danke für deine Antwort smile

smile

Noch eine Frage zum einfacheren Weg:
Wenn ich (1) von (2) abziehe habe ich ja 999x = 4569. Löse ich das aber nach x auf indem ich durch 999 teile, bin ich wieder an der Ausgangsposition x=4.569569... geschockt

geschockt

04.10.2016, 15:35

klarsoweit

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Wolltest du nun einen Bruch haben, oder nicht? verwirrt

verwirrt

04.10.2016, 15:50

Bernie12345

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Upps, ich meine nicht die Ausgangsform, sondern eine neue periodische Dezimalzahl 4.573573...

04.10.2016, 15:53

Bernie12345

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(Sorry für den Doppelpost), das heisst, der Bruch ist dann einfach 4569/999 ? geschockt

geschockt

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04.10.2016, 15:58

klarsoweit

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Fast, denn hier hat sich auf der rechten Seite ein Fehler eingeschlichen (habe ich vorhin übersehen):

Zitat:

Original von Bernie12345
Wenn ich (1) von (2) abziehe habe ich ja 999x = 4569.

04.10.2016, 16:04

Bernie12345

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Ah, natürlich 4565/999. Das muss ich auch nicht weiter kürzen oder so? Einem so "langem" Bruch bin ich noch selten begegnet Big Laugh

Big Laugh

04.10.2016, 16:10

Mathema

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Im Regelheft meiner Sechstklässler steht immer folgendes. Damit kann man den Bruch sofort hinschreiben. Vielleicht hilft dir ja auch was davon. Dein Fall ist b1.

04.10.2016, 21:11

Bernie12345

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Vielen lieben Dank für diesen Auszug aus dem Regelheft, Mathema smile

smile

Die Brüche habe ich nun alle gefunden, vielen Dank für die Hilfe! Habt ihr noch Tipps, wie ich daraus nun unendliche Reihen machen kann? Wäre das für den ersten Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{4565}{999} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{4}{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{10} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{6}{100} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{9}{1000} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{10000} \end{eqnarray*}$ ... und somit gekürzt 4 + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{3}{50} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{9}{1000} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2000} \end{eqnarray*}$ ... ? Muss ich dies nun noch für ein allgemeines a_{n} aufschreiben? Wie mache ich das? Danke schon im Voraus!

05.10.2016, 11:21

Bürgi

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Guten Tag,

nur eine Bemerkung - und dann bin ich wieder weg:

Du hast Dir mit Deiner Schreibweise der Zahl einen einfachen Zugang zu einer Reihe verbaut.
Betrachte

$\begin{eqnarray*} 4,\overline{469} = 4 + \frac{469}{10^3}+ \frac{469}{10^6}+ \frac{469}{10^9}\ .... \end{eqnarray*}$

... und tschüss!

05.10.2016, 14:54

Bernie12345

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Danke für den Tipp, das hat echt geholfen! Ich hab's jetzt so aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} 569 \sum\limits_{k=1}^{\infty }( \frac{1}{1000})^{k} \end{eqnarray*}$ und habe nur noch eine Frage: Wohin gehört nun die 4? Ich bitte um schnelle Antworten (wenn's geht), da ich bald einen Test darüber schreibe! Danke smile

smile

05.10.2016, 15:07

klarsoweit

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Ich würde die 4 noch als Summand davor schreiben. smile

smile

05.10.2016, 17:43

Bernie12345

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Danke, das hab ich jetzt gemacht smile

smile

Wie kann ich den Grenzwert dieser Reihe finden? Ich bin gerade echt verzweifelt, jedes Mal wenn ich versuche den Grenzwert auszurechnen komme ich auf ein falsches Ergebnis, morgen ist meine Klausur und im Internet kann ich auch nichts dazu finden unglücklich

unglücklich

05.10.2016, 18:12

Matt Eagle

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Die Summenformel für die geometrische Reihe lautet ja:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty q^n=\frac 1{1-q}\text{ für }|q|<1. \end{eqnarray*}$

Im vorliegenden Fall läuft der Summationsindex aber von $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Um das zu korrigieren zieht man einfach den ersten Summanden ab.

Konkret:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty q^n=\left(\sum_{n=0}^\infty q^n\right)-1=\frac 1{1-q}-1=\frac q{1-q}. \end{eqnarray*}$

05.10.2016, 18:22

Bernie12345

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Danke für die Antwort smile

smile

Diese Formel kenne ich, aber wie kann ich sie benutzen, wenn vor der Summe noch 4 + 569 steht, also die Summe $\begin{eqnarray*} 4+569*\sum\limits_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{1000})^{k} \end{eqnarray*}$ ist?

06.10.2016, 08:39

klarsoweit

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Verstehe jetzt die Frage nicht. Die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{1000})^k \end{eqnarray*}$ kannst du mit der geometrischen Summenformel umformen, alles andere bleibt erhalten.

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