Skalarprodukt Funktionen

03.10.2016, 21:46

JudasBeast

Skalarprodukt Funktionen

Meine Frage:
Hallo,

Die Frage ist vielleicht für viele von euch trivial, aber ich bin mir da einfach sehr unsicher.

Wenn ich ein Skalarprodukt von reellen Funktionen auf [a,b] bilden will, dann liegt dieses doch standardmäßig in dieser Form vor:

$\begin{eqnarray*} <f|g> = \int_{a}^{b} \! f(x) g(x)\, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die Funktionen auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachte, das heißt von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , kann ich dann ohne Bedenken das Skalarprodukt folgendermaßen schreiben?

$\begin{eqnarray*} <f|g> = \int_{-\infty }^{\infty } \! f(x) g(x)\, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich frage eigentlich nur deshalb, weil ich mir nicht sicher bin ob ich das auf Unendlich verallgemeinern kann, da ich intuitiv bei Unendlich immer... naja... "vorsichtig" sein will, dass ich keine falschen Schlüsse und Verallgemeinerungen ziehe...

MfG

04.10.2016, 07:17

klarsoweit

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RE: Skalarprodukt Funktionen

Zitat:

Original von JudasBeast
Wenn ich nun die Funktionen auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachte, das heißt von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , kann ich dann ohne Bedenken das Skalarprodukt folgendermaßen schreiben?

$\begin{eqnarray*} <f|g> = \int_{-\infty }^{\infty } \! f(x) g(x)\, dx \end{eqnarray*}$

Du mußt natürlich auch auf die Integrierbarkeit einen Blick werfen, sonst ist das Skalarprodukt nicht wohldefiniert. smile

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