Abelsche Gruppe der Ordnung 6 ist zyklisch |
| 04.10.2016, 12:36 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Abelsche Gruppe der Ordnung 6 ist zyklisch Hallo, Nun ich möchte zeigen, dass eine abelsche Gruppe von der Ordnung 6 zyklisch ist. Ich möchte das auch möglichst elementar, also ohne Lagrange und Isomorphismen zeigen (so gut wie möglich halt). Meine Ideen: Ehrlich gesagt weiss ich nicht genau wo ich anfangen soll. Wir haben eine Gruppe, die hat 6 verschiedene Elemente, die wiederum untereinander kommutieren. Ich habe versucht eine Liste von Verknüpfungen zu erstellen und die Möglichkeiten einzuschränken, was nicht erlaubt bzw. erlaubt ist. Sei (G,*) die Gruppe bzgl. (*) und G = {1,a,b,c,d,e} dann gilt z.B. a*b != a oder b, da sonst a = 1 bzw. b = 1 wäre. (nicht mehr 6 verschiedene Elemente) Wenn ich das hier weiter fortsetze bekomme ich eine Liste von nicht erlaubten Verknüpfungen oder entsprechend welche erlaubt sind. Das sind aber dann zu viele Möglichkeiten und ich verliere mich da ziemlich schnell. Tipps? |
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| 04.10.2016, 12:50 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Anwendung der Sylowsätze ... oder ist das nicht elementar genug ? |
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| 04.10.2016, 14:07 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Elvis, Vorerst danke für deine Antwort. Das Problem ist, dass wir bislang weder Lagrange noch Sylowsätze in der Vorlesung behandelt haben. |
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| 04.10.2016, 14:26 | DerJoker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, ich glaube das hilft wohl wirklich nur "probieren". Also erstellen einer Gruppentafel. Habe das selbst aber noch nicht versucht. Gruß, DerJoker |
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| 04.10.2016, 14:30 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hast Du schon gehört, dass die Ordnung eines Gruppenelementes die Gruppenordnung teilt ? Wenn nicht, musst Du dir das selbst überlegen. Diese Bedingung schränkt jedenfalls die Möglichkeiten auf 2 Gruppen ein, von denen eine abelsch ist, und diese ist (zufällig) auch noch zyklisch. |
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| 04.10.2016, 17:46 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja gehört habe ich schon, aber muss diesen Satz beweisen, wenn ich ihn anwende. Also gehe jetzt mal alle Fälle mal durch: Die Ordnung eines Elementes aus G kann 1,2,3 oder 6 sein. Wenn G ein Element mit der Ordnung 6 hat -> G0 = {e,x,x^2,x^3,x^4,x^5} Dann ist G bereits zyklisch OK! Sei nun x ein Element von G und x != e. (e: neutrales Element) dann kann die Ordnung von x ja 2 oder 3 sein. D.h. es gibt folgende Möglichkeiten: G1 = {e,x,y,z,u,v} (alle Elemente (ausser e) in G haben die Ordnung 2) G2 = {e,x,x^2,y,z,u} (x hat die Ordnung 3 und y,z,u jeweils 2) G3 = {e,x,^2,y,y^2,z} (x und y haben die Ordnung 3 und z hat die Ordnung 2) Wie kann ich hier weiter einschränken?
Versuche ich auch mal Danke! |
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| 04.10.2016, 18:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich fürchte, ohne Theorie bleibt wirklich nur das mühsame Probieren übrig 
Nachtrag: Ich bezweifle, dass es sinnvoll ist, alle Cayley-Tafeln daraufhin zu überprüfen, ob die Assoziativität gegeben ist, das dauert zu lange: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch...ayleytafel.html |
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