Extremstellen

04.10.2016, 14:40

hallstrom

Extremstellen

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe in einer Klausur gehabt, konnte aber leider gar nichts damit anfangen.
Weil ich jetzt nochmal ran muss, wüsste ich gerne was man da genau machen muss.

Analysieren Sie auf $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \right\} \end{eqnarray*}$ die Extremstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} A \rightarrow det(A) \end{eqnarray*}$ .

LG

04.10.2016, 14:54

klarsoweit

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RE: Extremstellen
Die Frage ist, ob du jemals die Extremstellen einer Funktion mit Randbedingung bestimmt hast? Das Verfahren ist hier nicht anders.

04.10.2016, 15:14

hallstrom

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RE: Extremstellen
Ja, das haben wir schonmal gemacht.

Also die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x,z)=xz \end{eqnarray*}$ ?
Ich gehe gerade davon aus, dass mit dem A die Matrix aus der Klammer gemeint ist. Oder muss ich das allgemein betrachten?

Dann wäre also die Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 \end{eqnarray*}$

Und dann kann ich Lagrange anwenden?

04.10.2016, 15:17

klarsoweit

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RE: Extremstellen

Zitat:

Original von hallstrom
Also die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x,z)=xz \end{eqnarray*}$ ?

Wie man sieht, geistert da auch ein y rum. Also: $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=xz \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von hallstrom
Ich gehe gerade davon aus, dass mit dem A die Matrix aus der Klammer gemeint ist.

Ja.

Zitat:

Original von hallstrom
Dann wäre also die Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 \end{eqnarray*}$

Und dann kann ich Lagrange anwenden?

Korrekt.

04.10.2016, 16:32

hallstrom

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Ok, das klingt dann schon verständlicher.
Mal schauen, ob ich damit weiter komme.

Vielen Dank dir auf jeden Fall! smile

05.10.2016, 10:52

hallstrom

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So, ich wollte nochmal nachhören, ob das jetzt überhaupt alles so stimmt.
Ich habe dann:

$\begin{eqnarray*} L(x,y,z,\lambda)=xz+\lambda*(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1) =xz+\lambda x^{2}+\lambda y^{2}+\lambda z^{2}-\lambda \frac{\partial L}{\partial x}=z+2\lambda x \frac{\partial L}{\partial y}=2\lambda y \frac{\partial L}{\partial z}=x+2\lambda z \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1 (I) z+2\lambda x =0 (II) 2\lambda y=0 (III) x+2\lambda z=0 (IV) x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 (II) \Rightarrow \lambda = 0 \vee y=0 \lambda =0 (I,III)\Rightarrow x=0, z=0 (IV)\Rightarrow y=\pm 1 \Rightarrow E_{1} =(0,1,0,0), E_{2}=(0,-1,0,0) \end{eqnarray*}$

Aber was ist dann mit dem Fall y=0?

05.10.2016, 15:14

klarsoweit

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Ich würde mal die 1. Gleichung nach z auflösen und in die 3. Gleichung einsetzen. smile

05.10.2016, 15:40

hallstrom

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ich würde mal die 1. Gleichung nach z auflösen und in die 3. Gleichung einsetzen. smile

So, dann komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \lambda = \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Wenn ich das wieder einsetze:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z=\mp x \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das jetzt in (IV) einsetze:
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{ \frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Also habe ich noch zusätzlich:
$\begin{eqnarray*} E_{2}=(\sqrt{\frac{1}{2}},0,-\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{2}), E_{3}=(-\sqrt{\frac{1}{2}},0,\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Aber ob das jetzt so stimmt verwirrt

05.10.2016, 15:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von hallstrom
Also habe ich noch zusätzlich:
$\begin{eqnarray*} E_{2}=(\sqrt{\frac{1}{2}},0,-\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{2}), E_{3}=(-\sqrt{\frac{1}{2}},0,\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Eher wohl: $\begin{eqnarray*} E_3 = (\sqrt{\frac{1}{2}},0,-\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{2}), E_4 =(-\sqrt{\frac{1}{2}},0,\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

wobei das die Lösungen für Lambda = 1/2 sind. Dann fehlen noch die Lösungen für Lambda = -1/2 . Augenzwinkern

05.10.2016, 16:12

hallstrom

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Moment, jetzt wollte ich noch die fehlenden ausrechnen und komme wieder auf was anderes verwirrt

Und dabei habe ich auch wieder nur zwei weitere:

$\begin{eqnarray*} \lambda=-\frac{1}{2} \Rightarrow z=x \Rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{2}} \lambda=\frac{1}{2} \Rightarrow z=-x \Rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} E_3 = (\sqrt{\frac{1}{2}},0,\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{2}), E_4 =(\sqrt{\frac{1}{2}},0,-\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Irgendwas mache ich wohl falsch.

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

05.10.2016, 16:14

hallstrom

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Zitat:

Original von hallstrom

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Moment, jetzt wollte ich noch die fehlenden ausrechnen und komme wieder auf was anderes verwirrt

Und dabei habe ich auch wieder nur zwei weitere:

$\begin{eqnarray*} \lambda=-\frac{1}{2} \Rightarrow z=x \Rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{2}} \lambda=\frac{1}{2} \Rightarrow z=-x \Rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} E_3 = (\sqrt{\frac{1}{2}},0,\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{1}{2}), E_4 =(\sqrt{\frac{1}{2}},0,-\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Irgendwas mache ich wohl falsch.

So, sorry.

06.10.2016, 09:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von hallstrom
Also:
$\begin{eqnarray*} E_3 = (\sqrt{\frac{1}{2}},0,\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{2}), E_4 =(\sqrt{\frac{1}{2}},0,-\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Irgendwas mache ich wohl falsch.

Ich weiß ja nicht, was du da rechnest. Korrekt ist: $\begin{eqnarray*} E_5 = (\sqrt{\frac{1}{2}},0,\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{1}{2}), E_6 =(-\sqrt{\frac{1}{2}},0,-\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

06.10.2016, 09:30

hallstrom

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ich weiß ja nicht, was du da rechnest. Korrekt ist: $\begin{eqnarray*} E_5 = (\sqrt{\frac{1}{2}},0,\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{1}{2}), E_6 =(-\sqrt{\frac{1}{2}},0,-\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Ok, ich lasse die Aufgabe besser bis zum Wochenende mal liegen.

Aber nochmal vielen Dank für deine Hilfe smile

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