Komplexe Zahl in Polar- und algebraischer Form

04.10.2016, 19:48	Mimir	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahl in Polar- und algebraischer Form Meine Frage: Ich habe bereits 3 andere Aufgaben vom gleichen Typ gelöst, diese hier scheint aber etwas schwieriger zu sein. Ich soll folgende komplexe Zahl sowohl in Polarform als auch in algebraischer Form angeben: $\begin{eqnarray} z=e^{i\theta}-1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe schon so einiges probiert. Uns wurde dann ein Tipp gegeben, dass man $\begin{eqnarray} e^{i\theta}-1 \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} (e^{i\theta/2}-1)(e^{i\theta/2}+1) \end{eqnarray}$ schreiben kann. Irgendwie hat mir das aber bis jetzt nichts geholfen. Ich könnte auch $\begin{eqnarray} (e^{i\theta}-1) \end{eqnarray}$ wie folgt schreiben: $\begin{eqnarray} e^{i\theta}-e^{i0} = cos(\theta)-isin(\theta)-cos(0)-sin(0) = cos(\theta)-cos(0)+isin(\theta) \end{eqnarray}$ . Aber das bringt mich ja auch nicht wirklich weiter, ich weiss dann lediglich, dass der Realteil von z folgendem Term entspricht: $\begin{eqnarray} cos(\theta)-cos(0) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} cos(\theta)-1 \end{eqnarray}$ und der Imaginärteil folgendem Term: $\begin{eqnarray} sin(\theta) \end{eqnarray}$ . Dann wäre der Radius r der komplexen Zahl z in Polarform gegeben durch den Betrag der Zahl z: $\begin{eqnarray} r=\|z\|=\sqrt{cos^2(\theta)-2cos(\theta)+1+sin^2(\theta)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{cos^2(\theta)+sin^2(\theta)+1-2cos(\theta)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{1+1-2cos(\theta)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{2-2cos(\theta)} \end{eqnarray*}$ Könnt ihr mir vielleicht ein bisschen auf die Sprünge helfen? Welcher Ansatz ist gut, gibt es noch andere Ansätze, die ich hier nicht aufgelistet habe?
05.10.2016, 09:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die algebraische Form $\begin{eqnarray} e^{i\theta}-1=cos\theta-1+i\cdot sin\theta \end{eqnarray}$ hast Du ja schon gefunden. Der Betrag ist richtig, und wie Du das Argument berechnen kannst, findest Du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
06.10.2016, 20:03	Mimir	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich hab da was bekommen, zwar ziemlich ein "unschöner" Term, aber immerhin etwas
06.10.2016, 22:22	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das wird nicht schön werden. Merkwürdige Aufgabe..
07.10.2016, 06:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Um komplexe Zahlen zu verstehen, muss man auch oftmals damit rechnen. Den Einheitskreis um 1nach links schieben ist zumindest geometrisch nicht sehr kompliziert. Das Argument liegt dann offenbar im Intervall $\begin{eqnarray} (\frac {\pi} 2,\frac {3\pi}2) \end{eqnarray}$

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