Projektionsoperator

05.10.2016, 13:45	Sabbse92	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektionsoperator Meine Frage: Guten Tag, wir haben am Rande meiner Theoretischen Physik Vorlesung den Projektionsoperator $\begin{eqnarray} \vec{r} \cdot \vec{r} \medspace 1 - \vec{r}\|\vec{r} \end{eqnarray}$ eingeführt. Wobei " $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt, " \| " Tensorprodukt und " 1 " der Einstensor ist. Wir sind komischerweise nicht näher darauf eingegangen und haben auch nicht besprochen was dieser Operator macht. In einer Hausaufgabe muss ich nun zeigen, dass es sich bei dem obigen Term um einen Projektionsoperator handelt? Meine Ideen: Wie mache ich das? Ich weiß das eine Projektion G (bzgl. einer linearen Abbildung) folgende Eigenschaft hat: $\begin{eqnarray} G \circ G = G \end{eqnarray}$ Reicht es also diese Eigenschaft für den Operator zu zeigen?
05.10.2016, 19:22	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektionsoperator Gehen wir mal davon aus, dass die Vektoren r und v einen zweidimensionalen Unterraum aufspannen. Der richtige Projektionsoperator ist $\begin{eqnarray} \mathbb P_r(v) := \frac{\langle r,v\rangle}{\langle r,r\rangle} r \end{eqnarray}$ . Das Ergebnis ist dabei ein Vektor der zu r kollinear ist. Die Länge bekommt man, wenn man von der Spitze von v das Lot auf r fällt. So, bei deiner Aufgabe hast du jetzt einen Vektor r der normiert sein soll. Die Formel sieht ja schon so aus (was man mit geschultem Blick gleich erkennt). Dann ist $\begin{eqnarray} \\|r\\|^2=\langle r,r\rangle=1 \end{eqnarray}$ . Der Projektionsoperator vereinfacht sich dann zu $\begin{eqnarray} \mathbb P_r(v) = \langle r,v\rangle r \end{eqnarray}$ . Euer Operator $\begin{eqnarray} p_r(v) := \langle r,r\rangle Ev - (r\otimes r)v \end{eqnarray}$ (E: Einheitstensor) ist nun ein etwas anderer Operator, wie man feststellen wird. Zunächst bekommst du $\begin{eqnarray} (r\otimes r)v = \langle r,v\rangle r \end{eqnarray}$ über eine Indexrechnung, oder dir ist irgendwie klar dass es so sein muss. Das $\begin{eqnarray} \langle r,r\rangle \end{eqnarray}$ kannst du wie gesagt immer zu eins vereinfachen. Jetzt findet man $\begin{eqnarray} p_r(v) = v-\langle r,v\rangle r = v-\mathbb P_r(v). \end{eqnarray}$ Das bedeutet aber gerade, dass wir eine Projektion auf den zu r orthogonalen Einheitsvektor in der Ebene span({r,v}) haben. Nennen wir den r'. Die Richtung von r' ist durch v und r auch vorgegeben. Als Formel gilt nun also $\begin{eqnarray} p_r(v) = \mathbb P_{r'}(v) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \langle r,r'\rangle=0 \end{eqnarray}$ . Dass der Idempotent ist, kannst du einfach durch Ausrechnen überprüfen: $\begin{eqnarray} p_r(p_r(v)) &=& p_r(v-\langle r,v\rangle r)<br /> &=& (v-\langle r,v\rangle r)-\langle r,(v-\langle r,v\rangle r)\rangle r<br /> &=& v-\langle r,v\rangle r - \langle r,v\rangle r + \langle r,r\rangle \langle r,v\rangle r<br /> &=& v-\langle r,v\rangle r<br /> &=& p_r(v) \end{eqnarray}$
05.10.2016, 19:45	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Finn für deine sehr ausführliche Antwort. Leider verstehe ich nicht warum [latex] <\vec{r}, \vec{r}>=1. Und der Beweis , dass es sich um einen Projektionsoperator handelt wird durch deine letzte Rechnung gezeigt (also, dass es Indempotent ist) ?
05.10.2016, 20:05	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektionsoperator Ach noch etwas. Dass eine Projektionsfunktion idempotent sein soll, kann so eigentlich nicht von vornherein gesagt werden. Eine Projektionsfunktion ist doch jede surjektive Funktion. Eine solche ordnet jedem Element des Definitionsbereichs seine Äquivalenzklasse zu. Es handelt sich also um eine Abbildung $\begin{eqnarray} p{:}\; D\rightarrow D/{\sim} \end{eqnarray}$ d.h. vom Definitionsbreich in die Quotientenmenge. Jetzt müsste man die Quotientenmenge aber erstmal in den Definitionsbereich einbetten. Anschaulich gesprochen müsste die Leinwand -- auf die ein Schatten geworfen wird -- also innerhalb des Zimmers sein und nicht irgendwo im nächsten Raum. So eine Leinwand ließe sich nun aber (wenn man die lineare Struktur weglässt) beliebig definieren. Man wählt für jede Äquivalenzklasse einen Repräsentanten als ausgezeichneten Repräsentanten aus (z.B. den Rest, wenn man durch den Modul teilt oder den Klassensprecher), aber manchmal ist so ein Vorgang mehr oder weniger willkürlich. Mit dieser Einbettung lässt sich jetzt von einer idempotenten Funktion sprechen. Die Frage dabei ist, in welchen Fällen es einen kanonischen Repräsentanten geben kann.
05.10.2016, 20:16	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektionsoperator Wenn r nicht normiert wäre, dann wäre doch $\begin{eqnarray} p_r(p_r(v)) = \langle r,r\rangle p_r(v) \end{eqnarray}$ , und das ist ja keine idempotente Funktion.
09.10.2016, 12:32	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektionsoperator Danke für die Erklärung. Nur um das nochmal zu verdeutlichen. In dem ich zeige, dass folgende Gleichheit gilt $\begin{eqnarray} p_r(\vec{v}) \circ p_r(\vec{v}) = p_r(\vec{v}) \end{eqnarray}$ . Habe ich automatisch gezeigt, dass es hier um einen Projektionsoperator handelt?
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