Grenzwert finden

05.10.2016, 14:26	Hampnie	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert finden Hallo Leute, Ich versuche gerade den Grenzwert vom folgendes zu finden: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } n^3(3/4)^(3n) \end{eqnarray}$ (hoch 3n) Die Lösung sollte 0 sein. Leider weis ich nicht wie man darauf kommt. Der Gedanke war sich mit dem l'Hopital Hilfe zu verschaffen indem man einen der Faktoren in den Nenner gibt wodurch im Zähler und im Nenner die jeweiligen Terme gegen unendlich laufen und somit mit dem l'Hopital lösbar wäre. Aber ich rätsele schon seit 2 Stunden darüber nach und komme nicht mehr weiter. Bitte um Hilfe. Danke
05.10.2016, 14:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das solltest du dir ein- für allemal klarmachen: Polynome (gleich welchen Grades) wachsen langsamer als Exponentialfunktionen (egal welcher Basis, solange sie nur größer als 1 ist). Mathematisch seriös geschrieben: Es ist $\begin{align} \lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{b^x} = 0 \end{align}$ für alle $\begin{align} a,b\in\mathbb{R} \end{align}$ mit $\begin{align} b>1 \end{align}$ . Für $\begin{align} a\leq 0 \end{align}$ ist das eh klar, und für $\begin{align} a>0 \end{align}$ nutzt man zunächst $\begin{align} \frac{x^a}{b^x} = \frac{x^a}{\exp(x\ln(b))} = \left( \frac{x}{\exp\left(x\frac{\ln(b)}{a}\right)} \right)^a \end{align}$ und weist $\begin{align} \lim_{x\to\infty} \frac{x}{\exp\left(x\frac{\ln(b)}{a}\right)} = 0 \end{align}$ z.B. per L'Hospital nach. Dein Grenzwert ist vom selben Typ, denn er lässt sich umschreiben $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{\left(\left(\frac{4}{3}\right)^3\right)^n} \end{align}$ , also mit $\begin{align} a=3 \end{align}$ und $\begin{align} b=\left(\frac{4}{3}\right)^3>1 \end{align}$ .
05.10.2016, 16:03	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kannst Du hier auch recht bequem mit dem Quotientenkriterium argumentieren. Betrachte dazu für beliebig vorgegebenes $\begin{eqnarray} 0<q<1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ die Folge: $\begin{eqnarray} a_n:=n^k\cdot q^n. \end{eqnarray}$ Offenbar gilt: $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac{n+1}n\right)^k\cdot q\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} q. \end{eqnarray}$ Also konvergiert $\begin{eqnarray} \sum a_n \end{eqnarray}$ laut Quotientenkrit. und $\begin{eqnarray} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ ist somit eine Nullfolge.

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