Integral mit Methode der komplexen Funktionentheorie lösen

05.10.2016, 16:15	Lǐ Kè	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Methode der komplexen Funktionentheorie lösen Hallo! Ich lerne gerade für meine Analysis 2 Prüfung und hänge bei der Lösung von Integralen mit komplexer Funktionentheorie. Wir machen das mit dem Cauchy'schen Residuensatz, ungefähr habe ich es schon verstanden, nun stehe ich bei einem Beispiel aber wieder total an: "Lösen Sie $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \sin(x)^{2} \, dx \end{eqnarray}$ mit einer Methode der komplexen Funktionentheorie." Meine Vorgehensweise: Zuerst einen Nenner erzeugen, damit ich eine Polstelle finden kann. Dann das Residuum an diesen Polstelle(n) finden. Das dann in den Cauchy'schen Residuensatz einsetzen. Hier der Link zu meiner Rechnung, liegt auf meinem GDrive, ich hoffe man kann es öffnen: drive.google.com/a/network.sunoe.at/file/d/0B1DptDqL8E0rNGhMNk12dl9VelE/view?usp=drivesdk Es kann leicht sein, dass ich in meiner grundsätzlich Vorgehensweise etwas falsch mache, jedenfalls kommt ein falsches Ergebnis raus. Das Integral wäre ja reell auch lösbar (denk ich zumindest?) die Aufgabenstellung ist aber explizit, es komplex zu lösen. Bin für jede Hilfestellung sehr dankbar! Lieben Gruß, Felix
05.10.2016, 16:33	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Methode der komplexen Funktionentheorie lösen Wenn du das Integral unbedingt über die komplexen Zahlen lösen möchtest muss nicht auf den Residuensatz oder auf die Integralformel von Cauchy zurückgegriffen werden sondern du kannst das Integral aufspalten mit der Hilfe von: $\begin{eqnarray} \sin(ax)=\frac{1}{2i}\left(e^{iax}-e^{-iax}\right) \end{eqnarray}$ Viele Grüße!
05.10.2016, 21:32	Lǐ Kè	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Methode der komplexen Funktionentheorie lösen Danke!!! Habs geschafft: Die von die gegebene Aufspaltung habe ich zuerst im Integral ausquadriert, dann einzeln integriert. Zum Schluss, nach dem Einsetzen der Grenzen muss man noch einmal $\begin{eqnarray} \frac{e^{4\pi i} - e^{-4\pi i} }{2i} \end{eqnarray}$ zurückumformen, um zu sehen, dass der Ausdruck 0 wird. Dann bleibt nur der mittlere Term aus der Ausquadrierung und der ist genau $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . (Für alle die es interessiert und die mir folgen können )

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