Differentielles Flächenelement bei Wechsel von Kart. zu Polar. Koord.

Neue Frage »

balance Auf diesen Beitrag antworten »
Differentielles Flächenelement bei Wechsel von Kart. zu Polar. Koord.
Hallo,

Ich habe eine Frage zum wechsel von Kartesischen zu Polarkoordinaten.

Es gilt ja: wobei

Weiter gilt: *

Meine Frage ist, wie man (*) herleitet.

Bei Kugelkoordinaten gilt ja:

Das kann ich herleiten. Und zwar wie folgt (ich mach es jetzt nicht explizit, zuviel Schreibarbeit).

Für ein Oberflächenintegral gilt: wobei eine Parametrisierung der Oberfläche und die entsprechende Menge ist.

Nun ist also: wobei wir folgende Notation nutzten:

Mir ist die Formel nicht 100% klar, jedoch habe ich eine Vorstellung: Das Kreuzprodukt liefert und einen Normalenvektor zur Oberfläche. MIttels Integration wandern wir so die ganze Oberfläche ab. Dies ergibt dann das Oberflächemass.

Bei Kugelkoordinaten ist jetzt woraus wir das diff. volumenelement wie obe geschrieben bekommen.

Das ganze müsste ich jetzt für Polarkoordinaten machen - jedoch habe ich irgendwie keine Ahnung wie das gehen soll. Ich kann natürlich den Einheitskreis Parametrisieren mit aber naja, die Determinante davon ist ja nicht .

Kann mir jemand einen Tipp geben, damit ich in der richtigen Ecke suche?
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentielles Flächenelement bei Wechsel von Kart. zu Polar. Koord.
Hallo, ich kann es dir von meiner Physik-Seite etwas beleuchten. Für ein tieferes Verständnis wird vermutlich Differentialgeometrie und ein gewisses Maß an Tensorkalkül benötigt.

I. Möglichkeit - Anschaulich

Die Transformation ist
Du kannst als Proportionalitätsfaktor betrachten der den Fehler zwischen der Transformation korrigiert.
Die Fläche bei einem Bogen in der Ebene lässt sich sehr leicht berechnen. Es gilt: wobei der Radius des Kreisbogens ist. Wenn dir das mit den Differentialen erstmal zu abstrakt ist musst du es nicht direkt differentiel betrachten sondern kannst dir einen Kreisbogen in die Ebene zeichnen und mit der Formel mit ist die Bogenlänge die Fläche berechnen.

Wie die Bogenlänge berechnet wird sollte bekannt sein. Es gilt . Betrachten wir dies für kleine Winkel so gilt: . Nun dies für die Bogenlänge eingesetzt und du hast die Fläche eines Bogens in der Ebene berechnet.



II. Möglichkeit - Tensorkalkül

Die Transformation zwischen Differentialen ist nicht linear. Das heißt, mit der Umrechnung kannst du zwischen beliebigen Differentialen transformieren. Differentiale werden wie kontravariante Komponenten transformiert. Um Transformationen näher zu verstehen solltest du dir Tensoranalysis bzw. Differentialgeometrie anschauen.

Viele Grüße!
allahahbarpingok Auf diesen Beitrag antworten »

Schon mal was vom Transformationssatz gehört oder Funktionaldeterminante? So hab ich es damals beigebracht bekommen.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das hilft. Weiter habe ich gestern, als ich daran rumrechnete wohl irgend nen zähen Fehler gemacht. Jetzt aber ist es eigentlich ok.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »