Verkettung surjektiv

05.10.2016, 18:15	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Verkettung surjektiv Meine Frage: Hallo Leute, kurze Frage. Seien $\begin{eqnarray} X, Y, Z \end{eqnarray}$ Mengen. Und $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ Abbildungen wobei $\begin{eqnarray} f: X \to Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: Y \to Z \end{eqnarray}$ . Dann gilt ja: $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow g \end{eqnarray}$ surjektiv Ich kenne den Beweis für diese Aussagen per Kontraposition. Angenommen $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ wäre nicht surjektiv, dann würde mindestens ein $\begin{eqnarray} z \in Z \end{eqnarray}$ existieren, dass kein Urbildpunkt in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ besitzt. Anders ausgedrückt es existiert mindestens ein $\begin{eqnarray} z \in Z \end{eqnarray}$ so dass für alle $\begin{eqnarray} y \in Y \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} g(y) \neq z \end{eqnarray}$ . Demnach kann auch die Verkettung nicht surjektiv sein. Denn sein $\begin{eqnarray} \tilde{z} \end{eqnarray}$ für einen Moment dieses $\begin{eqnarray} z \in Z \end{eqnarray}$ dass kein Urbildpunkt hat, dann gilt: $\begin{eqnarray} \forall x\in X : g \circ f (x) = g(f(x)) \neq \tilde{z} \end{eqnarray}$ . Die $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ sind ja dann gerade meine $\begin{eqnarray} y \in Y \end{eqnarray}$ und unter dieses existiert kein passendes. Soweit so gut! Jetzt habe ich gelesen, dass das jemand direkt bewiesen hat. Nämlich so: Sei $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ surjektiv. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \forall z \in Z \exists x \in X: g \circ f (x) = z \end{eqnarray}$ . Jetzt wird gefolgert, dass dann auch gilt: $\begin{eqnarray} \forall z \in Z \exists y \in Y : g(y) = z \end{eqnarray}$ indem man einfach y = f(x) wählt. Ich finde das zunächst mal einleuchtend, habe aber Angst, dass ich vielleicht was übersehe! Meine Ideen: Kann mir jemand sagen, ob das passt?
05.10.2016, 18:28	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja das passt.
05.10.2016, 18:33	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »

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