Stetigkeit und (partielle) Differenzierbarkeit

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit und (partielle) Differenzierbarkeit
Hallo Leute,

könnt ihr mir sagen, ob diese Rechnung so ok ist?
Es soll die gegebene Funktion untersucht werden auf Stetigkeit, partielle Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit.



Zur Stetigkeit:

Sei eine Folge mit .

Nun bilde ich:

Also ist die Funktion stetig im Ursprung.

2) Die partielle Differentiation

Also partiell differenzierbar nach x.



Also partiell differenzierbar nach y.

Ist das bisher ok?
CashewCranberryMix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und (partielle) Differenzierbarkeit
Hab keinen Fehler entdeckt, außer in der letzten Zeile, nach dem zweiten "="-Zeichen, sollte dort stehen


dies führt aber zu einem Grenzwert von +1 bzw. -1, je nachdem, von welcher Seite man kommt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

kleiner Einwurf: CashewCranberryMix hat Recht, dort ist ein Fehler. Die Konklusion ist aber falsch, das führt nicht zu unterschiedlichem links- und rechtsseitigem Grenzwert. Es kürzt sich alles weg und es bleibt 1 übrig.
CashewCranberryMix Auf diesen Beitrag antworten »

Das seh ich nicht. Ich hätte so gerechnet:


Und die beiden Grenzwerte sind nun:

und


Wo habe ich mich verrechnet?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt , nicht .
CashewCranberryMix Auf diesen Beitrag antworten »

ups, danke
 
 
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Super, ich danke euch vielmals für eure Hinweise!
Also ist sie nicht stetig in Richtung y, da dort nicht f(0,0) folgt, richtig?

Ich würde dann gleich die totale differenzierbarkeit nachschießen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg dir nochmal, was du da gerade zeigen wolltest und ob deine Schlussfolgerung evt. Unsinn ist.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Forum Kloppe
Nicht differenzierbar in Richtung y.

Falls du aber meintest, dass ich nach dieser Erkenntnis bereits weiß, dass f nicht total differenzierbar ist: Das würde ich aber gerne noch formal machen. Damit ich de Definitionen in den Griff bekomme.
Das geht doch auch ohne dass Ich vorher die partielle differenzierbarkeit bestimme, oder?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mir jetzt so oft die Definition durchgelesen, aber ich kann sie einfach nicht übertragen.
Könntet ihr mir dazu vielleicht den Ansatz nennen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Forum Kloppe
Nicht differenzierbar in Richtung y.

Was meinst du da jetzt? In Richtung y ist doch die Funktion partiell differenzierbar.

Zitat:
Original von forbin
Also ich habe mir jetzt so oft die Definition durchgelesen, aber ich kann sie einfach nicht übertragen.

Definition von was? Schreibe mal konkret hin, was du da hast und wo dein Problem ist.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich war gerade durcheinander.

Nochmal, bevor sich das jetzt falsch festsetzt:

Die Funktion ist stetig in (0,0), weil der Grenzwert existiert und gleich f(0,0) ist. Richtig?

Und die Funktion ist in beide Richtungen differenzierbar, weil die Grenzwerte und existieren (unabhängig von deren Wert). Richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ok, aber bei der Stetigkeit muß es so heißen:

forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank.
Also bei der Stetigkeit dran denken, den Betrag zu nehmen.

Nun weiß ich, dass das totale Differenzial definiert ist als:


Das kann ich also nun bilden als:


Stimmt das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Also bei der Stetigkeit dran denken, den Betrag zu nehmen.

Das hat mit der Stetigkeit nur am Rande zu tun. Ohne den Betrag funktioniert einfach diese Abschätzung nicht:



Zitat:
Original von forbin
Nun weiß ich, dass das totale Differenzial definiert ist als:


Das ist zwar schön, aber ist die Funktion in (0, 0) überhaupt total differenzierbar?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Nun weiß ich, dass das totale Differenzial definiert ist als:


Das ist zwar schön, aber ist die Funktion in (0, 0) überhaupt total differenzierbar?[/quote]

Hm...also daraus, dass die partiellen Ableitungen in alle Richtungen existieren, scheint das also nicht zu folgen?
Dann -denke ich- kommt nun also die Definition der totalen Ableitun ins Spiel?
Genau die macht mir Probleme:

Eine Abbildung heißt in a total differenzierbar, wenn es eine (im Allgemeinen von a abhängige) R-lineare Abbildung gibt, sodass der durch die Gleichung definierte Rest rdie Bedingung erfüllt.

Aber genau da weiß ich nicht weiter... wie wäre da der Ansatz?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Hm...also daraus, dass die partiellen Ableitungen in alle Richtungen existieren, scheint das also nicht zu folgen?

Korrekt.

Zitat:
Original von forbin
Eine Abbildung heißt in a total differenzierbar, wenn es eine (im Allgemeinen von a abhängige) R-lineare Abbildung gibt, sodass der durch die Gleichung definierte Rest rdie Bedingung erfüllt.

Aber genau da weiß ich nicht weiter... wie wäre da der Ansatz?

Erst mal ist a = (0, 0) und die lineare Abbildung L ergibt sich aus der Jacobi-Matrix der Funktion f. Dann müßtest du schauen, wie die Restfunktion r(x,y) aussieht und ob diese die genannte Anforderung erfüllt.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut, dann also die Jacobimatrix aufstellen, dass heißt, die ersten partiellen Ableitungen bilden.
Diese müsste ich dann doch also getrennt untersuchen, je nach y<0 oder y>0.
Richtig?
Für y>0 hätte ich:


Oder bin ich jetzt komplett falsch unterwegs?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, es geht ja jetzt "nur" um den Nullpunkt. Und dafür hast du ja schon die Werte der partiellen Ableitung ausgerechnet. smile
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
Die Werte der partiellen Ableitung sind 0 und 1?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt.

Der Vollständigkeit halber sei noch darauf hingewiesen, daß hier formale Fehler sind:

Zitat:
Original von forbin
2) Die partielle Differentiation

Also partiell differenzierbar nach x.



Also partiell differenzierbar nach y.

Korrekt ist:



forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, richtig, danke smile

Könntest du mir vielleicht die totale differentiation erläutern?
Ich lese das nun zum x-ten mal, aber ich komme ohne ein Beispiel Nicht damit zurecht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also so dramatisch ist das jetzt doch nicht. Wir haben für die Funktion f diese Darstellung:

(I) f(x,y) = f(0,0) + L(x,y) + r(x,y)

Dabei wird die lineare Abbildung L durch die Abbildungsmatrix (0 1) repräsentiert und für totale Differenzierbarkeit müßte gelten, daß gegen Null geht für (x,y) -> (0,0).

Stellen wir die Gleichung (I) nach r(x,y) um, ergibt sich:

(II) r(x,y) = f(x,y) - L(x,y)

Jetzt mußt du nur noch einsetzen und prüfen, ob für r(x,y) die oben genannte Bedingung erfüllt wird. smile
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe mal hin, was ich gerechnet habe.


So?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin


Erst mal ist . Da der Klammerausdruck negativ ist, funktioniert deine Abschätzung gar nicht.

Außerdem (und das ist der Knackpunkt) mußt du betrachten.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sehe ich ein, dass die Abschätzung falsch ist.
Aber den Rest unglücklich und das ärgert mich sehr.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist denn das Problem?

Offensichtlich ist

Nun nimm doch mal die Folge (x_n, y_n) = (1/n, 1/n) und schau mal, gegen was das konvergiert. smile
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, dass bis meine Rechnung bis zu der falschen Abschätzung so korrekt war?

Wenn ich nun 1/n einsetze, erhalte ich:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Das heißt, dass bis meine Rechnung bis zu der falschen Abschätzung so korrekt war?

Nun ja, du hattest nur r(x,y) betrachtet. Es geht aber um .

Zitat:
Original von forbin

Erst mal geht das gegen -1/2 (bzw. ist gleich -1/2) und korrekt ist aber: smile
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok... aber was sagt mir das nun? Also ich bilde doch den Grenzwert für n gegen unendlich? Und dieser geht dann eben nicht gegen null und daher ist es nicht total differenzierbar?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Also ich bilde doch den Grenzwert für n gegen unendlich?

Ja.

Zitat:
Original von forbin
Und dieser geht dann eben nicht gegen null und daher ist es nicht total differenzierbar?

Korrekt. Die Bedingung für totale Differenzierbarkeit lautet (du hast sie selbst oben genannt), daß ist.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Puh Erstaunt2

Also erstmal danke vielmals.
Ich würde gerne ein weiteres Beispiel durchrechnen.
Soll ich das hier machen oder dazu einen anderen Thread eröffnen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ein neuer Thread wäre wohl besser. smile
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