Totales Differenzial - reine Notation?

06.10.2016, 15:16	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Totales Differenzial - reine Notation? Hallo, Sei $\begin{eqnarray} \vec{v} : \Omega\subset \mathbb R \to\mathbb R^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{v}=\nabla \Phi \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ein beliebiger Weg. Nun gilt: $\begin{eqnarray} \int_\gamma \vec{v}\cdot d\vec{s}=\int_\gamma\nabla\Phi\cdot d\vec s = \int_a^b \nabla \Phi(\vec{\gamma}(t))\cdot \dot{\vec{\gamma}}(t)dt=\int_a^b \sum_{i=1}^n \frac{\partial \Phi}{\partial x_i}(\vec{\gamma}(t))\frac{d\gamma_i}{dt}(t) \ dt = \int_a^b \frac{d}{dt}\Phi (\vec{\gamma}(t)) dt \end{eqnarray}$ Mir ist eigentlich alles klar, bis auf den letzten Schritt. Ich verstehe dies nicht: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \frac{\partial \Phi}{\partial x_i}(\vec{\gamma}(t))\frac{d\gamma_i}{dt}(t)=\frac{d}{dt}\Phi (\vec{\gamma}(t)) \end{eqnarray}$ Ich habe bei der rechten Seite natürlich an das Totale Differenzial gedacht - jedoch sagt mier der Begriff eigentlich nicht viel. Ich kenn die Notation vorallem von skalren und nicht vektorwertigen Funktionen. Schaue ich die Definition nacht, ist die Gleichheit klar. Trotzdem bleib die Frage, ist das Totale Differential pure Notation für die Summe der part. Ableitungen?
06.10.2016, 15:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Totales Differenzial - reine Notation? Das totale Differential ist $\begin{eqnarray} \nabla \Phi = \begin{pmatrix} \partial_1 \Phi \\ \partial_2 \Phi \\ \dots \\ \partial_n \Phi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , keine Summe. Nach der mehrdimensionalen Kettenregel ist aber $\begin{eqnarray} \frac { d } { dt } \Phi(\gamma(t)) = [(\nabla \Phi)(\gamma(t))] \cdot \partial_t \gamma(t) = \begin{pmatrix} \partial_1 \Phi(\gamma(t)) \\ \partial_2 \Phi(\gamma(t)) \\ \dots \\ \partial_n \Phi(\gamma(t))\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac d {dt} \gamma_1(t) \\ \frac d {dt} \gamma_2(t) \\ \dots \\\frac d {dt} \gamma_n(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , was gleich der Summe ist wenn man das Skalarprodukt ausschreibt.
06.10.2016, 16:02	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahja, gut. Dann schau ich mir das gleich nochmal an. Danke Kettenregel war echt das Stichwort

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