Diagonalmatrix bestimmen

06.10.2016, 15:59	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalmatrix bestimmen Meine Frage: Hallo liebe Community, ich habe eine Frage zum Aufstellen einer Diagonalmatrix zu einer Matrix, nennen wir sie "A". Ich weiß, dass wenn ich eine Diagonalmatrix bestimmen möchte zunächst folgende Schritte erledigen muss: 1) charakt. Polynom bestimmen => Eigenwerte 2) Eigenvektoren bestimmen Eine Matrix ist ja diagonalisierbar genau dann wenn eine Basis aus den Eigenvektoren zu den Eigenwerten exisitert. Zum bestimmen dieser Diagonalmatrix muss ich nun also zunächst die Basiswechselmatrix T^(-1) aus den Eigenvektoren aufstellen. Hierzu noch die Inverse bilden und ich kann meine Diagonalmatrix aus der Gleichung TAT^(-1) bestimmen. Nun meine Frage: Ist es egal in welcher Reihenfolge ich die Basiswechselmatrix aus den verschiedenen Eigenvektoren aufstelle oder muss ich da eine Reihenfolge beachten? Dieselbe Frage ergibt sich natürlich auch bei der Erstellung der Jordan-Normalform. Ich freue mich über eure Hilfe Meine Ideen: siehe oben ;-)
06.10.2016, 17:18	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu willst Du das ganze durchführen? Wenn es Dir nur um die Diagonalisierung geht, stehen auf der Diagonalen die Eigenwerte. Die Transformationsmatrix brauchst Du dafür nicht extra aufzustellen (Es sei denn es ist danach gefragt)
07.10.2016, 12:56	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal danke. Ja es ist leider danach gefragt und könnte eine Klausuraufgabe werden, daher die Frage. Aber auch für das Aufstellen einer Diagonalmatrix ergibt sich ebenfalls die Frage nach der Reihenfolge. Denn mit welchen Eigenwert fange ich oben an? Wenn ich beispielsweise die Eigenwerte habe $\begin{eqnarray} \lambda1 = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda2 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda3 = -3 \end{eqnarray}$ Fange ich dann mit dem kleinsten lamda an, also -3 dann 0 und dann 2 für die Diagonalmatrix ? Also $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und wenn ich jetzt hierzu meine Eigenvektoren ermittle, in welcher Reihenfolge stelle ich dann meine Basiswechselmatrix auf?
07.10.2016, 13:25	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Basiswechselmatrix ergibt sich aus der Basis. Und in der Basis ist die Reihenfolge der Basisvektoren durch die sequentielle Nennung der Basisvektoren festgelegt.
07.10.2016, 14:17	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Gilt das gleiche auch für die Aufstellung der Diagonalmatrix mithilfe der Eigenwerte?
07.10.2016, 14:22	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich. Die Eigenwerte stehen auf der Diagonalen analog zur Reihenfolge der zugehörigen Basisvektoren.
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