Konvergenz Reihe

07.10.2016, 11:51

Moatsi

Konvergenz Reihe

Beweisen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{sin^{2}(nx)}{n^{x}+3}, \forall x \in (1,\infty) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Ich habe hier an das Majorantenkriterium gedacht.

Kann ich dann einfach schreiben $\begin{eqnarray*} \frac{sin^{2}(nx)}{n^{x}+3} \leq \frac{1}{n^{x}} \end{eqnarray*}$ und daraus folgt ja dann die Konvergenz, da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Außerdem muss ich noch zeigen, dass f auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (2,\infty) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.
Da weiß ich gerade nicht weiter.

Kann mir wohl jemand helfen? smile

07.10.2016, 12:45

Guppi12

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Hallo,

bisher ist alles richtig. Zur Differenzierbarkeit: kennst du irgendwelche Sätze, die Differenzierbarkeit von Reihen oder auch nur Funktionenfolgen garantieren? Vielleicht etwas, das mit gleichmäßiger Konvergenz zu tun hat?

07.10.2016, 14:15

Moatsi

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Ehrlich gesagt weiß ich nicht was das mit gleichmäßiger Konvergenz zu tun hat.
Wir haben Differenzierbarkeit immer mit mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$ definiert.

Reicht das für den ersten Teil denn eigentlich so schon aus, oder muss ich erst noch beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{x}} \end{eqnarray*}$ konvergiert?
Aber das ist doch die allgemeine harmonische Reihe, oder?

07.10.2016, 14:39

Moatsi

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Oder so?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{x}} \rightarrow \int_{1}^{\infty } \! \frac{1}{n^{x}} \, dn = \lim_{a \to \infty } \int_{1}^{a} \! n^{-x} \, dn = \lim_{a \to \infty } \left[\frac{n^{1-x}}{1-x}\right]_{1}^{a} <br /> =\lim_{a \to \infty }[\frac{a^{1-x}}{1-x}-\frac{1^{1-x}}{1-x}]=0-\frac{1^{1-x}}{1-x}=\frac{1}{1-x}<\infty <br /> \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{x}}<\infty <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

07.10.2016, 14:44

Guppi12

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Der erste Teil reicht genau dann so aus, wenn ihr die Konvergenz der allg. harmonischen Reihe bereits behandelt habt, wenn nicht, musst du das selbstverständlich noch selbst zeigen.

Zu deiner anderen Frage: Es gibt eben Sätze, die Differenzierbarkeit von Grenzwerten mit gleichmäßiger Konvergenz in Zusammenhang bringen. Ich entnehme deiner Antwort, dass ihr keinen in der Art behandelt habt? Oder hast du nur noch nicht nachgeschaut, weil du dir sicher warst, dass das eine nichts mit dem anderen zu tun hat?

07.10.2016, 14:59

Moatsi

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Ist der Beweis oben denn so richtig?

Also bei unseren Unterlagen habe ich nichts gefunden.
Im Internet bin ich allerdings auf diesen Satz gestoßen:

Es seien $\begin{eqnarray*} f_{n}:[a,b]\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbare Funktionen, so dass:
1. Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_{n}) \end{eqnarray*}$ konvergiert punktweise auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .
2. Die Folge $\begin{eqnarray*} (f'_{n}) \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .
Dann ist die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , und es gilt
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{n \to\infty} f'_{n}(x) \end{eqnarray*}$ .

Also muss ich dann erstmal zeigen, dass die einzelnen Folgenglieder stetig differenzierbar sind, und deren Ableitungen gleichmäßig konvergieren?

07.10.2016, 16:28

Guppi12

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Ja, der Beweis oben ist richtig, wenn du einmal das Integralkriterium beim Namen nennst und die Voraussetzungen, die dafür notwendig sind, noch nachprüfst, bzw. erwähnst.

Zitat:

Also muss ich dann erstmal zeigen, dass die einzelnen Folgenglieder stetig differenzierbar sind, und deren Ableitungen gleichmäßig konvergieren?

Ja genau, du kannst es auch direkt mit der Definition machen, das wird aber extrem umständlich werden und auch auf den selben Satz hinauslaufen, nur dass du alle Aussagen des Satzes in diesem Spezialfall selbst herleitest.

10.10.2016, 21:09

forbin

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Aber liegt denn überhaupt eine Funktionenfolge vor?
Die Funktion ist ja nicht abhängig von n.

10.10.2016, 22:24

Guppi12

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Das wäre, wenn es so wäre, irrelevant, eine Folge kann ja auch konstant sein.

Die Folge, um die es hier geht, ist aber $\begin{eqnarray*} \left((0,\infty)\to\mathbb R, x\mapsto\sum_{n=1}^k \frac{\sin^2(nx)}{n^x+3}\right)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und die ist nicht konstant.

10.10.2016, 22:27

forbin

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Also ich verstehe es leider nicht.
Kann ich nicht den Differenzenquotienten bilden und zeigen, dass dieser exisitert?

10.10.2016, 22:29

Guppi12

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Du meinst sicher den Grenzwert des Differenzenquotienten bzw. den Differentialquotient.
Das kannst du auch, ist bei dieser Funktion aber immens umständlich.

10.10.2016, 22:53

forbin

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Mir will sich aber nicht recht erschließen, wie ich hier mit gleichmäßiger Konvergenz arbeiten soll.
Ich meine, ich habe doch keine Grenzfunktion?

10.10.2016, 23:48

Guppi12

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Selbstverständlich hast du eine Grenzfunktion. Sie ist durch die Reihe gegeben.

11.10.2016, 11:44

forbin

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Und wie ist meine Funktionenfolge?
Also ich steige da nicht durch unglücklich

11.10.2016, 11:54

Guppi12

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Die Funktionenfolge habe ich oben schon hingeschrieben.

11.10.2016, 12:05

forbin

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Aber die Reihe ist doch die Grenzfunktion?
Und oben steht sie als Funktionenfolge?

11.10.2016, 12:34

Guppi12

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Ich verstehe gerade nicht, was du nicht verstehst. Das musst du nochmal klarer aufzeigen.

Setzen wir $\begin{eqnarray*} f_k: (0,\infty)\to\mathbb R, x\mapsto\sum_{n=1}^k \frac{\sin^2(nx)}{n^x+3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: (0,\infty)\to\mathbb R, x\mapsto\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2(nx)}{n^x+3} \end{eqnarray*}$ ,

so konvergiert die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ punktweise gegen die (wie schon gezeigt wohldefinierte) Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Das steht auch oben schon so, nur ohne die Abkürzungen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ . Das ist eine ganz normale Funktionenfolge mit einer ganz normalen Grenzfunktion. Ich kann daher dein Grundsatzproblem ganz ehrlich gerade nicht nachvollziehen.

11.10.2016, 13:37

forbin

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Also, wahrscheinlich übersehe ich was offentsichtliches, aber es ist doch also die Funktionenfolge gleich der Grenzfunktion?
Und damit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup{|f_{n}-f|} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup{|0|} = 0 \end{eqnarray*}$ und damit gleichmäßig konvergent ?

11.10.2016, 13:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von forbin
aber es ist doch also die Funktionenfolge gleich der Grenzfunktion?

Was soll das denn heißen "Funktionenfolge ist gleich der Grenzfunktion"? Die Funktionenfolge konvergiert (zumindest punktweise) gegen die Grenzfunktion. Eine möglicherweise vorhandene gleichmäßige Konvergenz muß separat untersucht werden oder folgt aus anderen Eigenschaften (Satz von Weierstraß).

11.10.2016, 15:25

Guppi12

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Noch ein Hinweis: Bevor du dich daran machst, gleichmäßige Konvergenz der $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, diese reicht hier nicht aus. Der Satz, auf den ich mich beziehe, benötigt die folgenden Voraussetzungen:

1) $\begin{eqnarray*} f_k(x) \to f(x) \end{eqnarray*}$ in mindestens einem Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , diese Voraussetzung ist schon überprüft worden.
2) $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f_k')_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert (lokal) gleichmäßig irgendeine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

die Aussage gibt einem dann die punktweise Konvergenz überall von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ (die haben wir hier natürlich schon), außerdem die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} f' = g (=\lim_{k\to\infty} f_k') \end{eqnarray*}$ .

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