Homöomoprh und Mannigfaltigkeit

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Thomas16 Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomoprh und Mannigfaltigkeit
Hallo miteinander

Ich habe eine Frage: Wie kann ich mir die Konzepte von "homöomorph" und "Mannigfaltigkeit" bzw "Mannigfaltigkeit mit Rand" am besten bildlich vorstellen?

Wenn ich z.B. die beiden Buchstaben N und X haben, so sind beides doch Mannigf. mit Rand, oder? Und beide homöomorph, das es keine Löcher hat und das N in ein X umgeformt werden könnte bzw. umgekehrt.

Wie ist das bei etwas geometrischeren Objekten, wie z.B. einer geschlossenen und einer offenen Kreisscheibe?
Intuitiv würde ich sagen, dass die geschlossene Ks. eine Mannigf. mit Rand ist, die offene nicht. Aber die beiden Ks sind homöomorph zueinander ("störende" Löcher gibt es ja nicht...).

Stimmen diese Argumentationen / Ansichten?

Liebe Grüsse und danke für die Tipps! smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a) Ein Homöomorphismus ist bijektiv und bistetig, und er erhält alle topologischen Eigenschaften. Deine Beispiele sind nicht richtig (wenn Du mir nicht glaubst (wozu es keinen Anlass gibt), beweise mir bitte das Gegenteil, indem Du Homöomorphismen angibst).

Spätestens wenn Du den Führerschein machen möchtest, musst Du den topolgischen Unterschied zwischen einer Autobahn "I", einer Einmündung "T" und einer Kreuzung "X" kennen. Lass dir kein X für ein U vormachen Augenzwinkern
Der Unterschied zwischen einer geraden Strasse "I" und einer kurvenreichen Strasse "N" oder "S" ist nicht topologischer sondern analytischer Natur (Differenzierbarkeit) oder geometrischer Natur (Krümmung). Auch diesen Unterschied kennen offensichtlich nicht alle Autofahrer, deshalb gibt es viele Unfälle "wegen überhöhter Geschwindigkeit".

b) Zur bildlichen Vorstellung schlage ich vor, du betrachtest erst einmal dieses Video: https://www.youtube.com/watch?v=0CLXHZ6pweU
Dann hörst Du ein paar gute Vorlesungen und studierst ein dutzend Bücher zum Thema.
 
 
Thomas16 Auf diesen Beitrag antworten »

Hoi Elvis

Danke für deine Antworten.

Also zuerst zum Thema Homöomorphismus:
a) N und X sind nicht homö., weil X ein Schnittpunkt hat, N deren zwei. Man müsste also den einen oder anderen Buchstaben auseinander schneiden.

b) Die offene und geschlossene Kreisscheibe würde ich aber weiterhin als homö. anschauen. Es ist hier ja nur der Rand, der hinzu bzw. wegfällt.

Ist das nicht korrekt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a) was ist ein Schnittpunkt ?
b) das ist nicht korrekt, wegfallen ist keine stetige Abbildung des Randes in die offene Kreisscheibe. wenn du das wirklich glaubst, gib einen Homöomorphismus an.
Thomas16 Auf diesen Beitrag antworten »

a) Halt. Wenn ich's mir recht überlege, kann ein X ohne Weiteres in ein N überführt werden, und umgekehrt. Ergo: Es ist homöomorph.

b) stimmt...das macht Sinn!

Bezüglich Mannigfaltigkeiten:
a) N und X sind keine Mannigf., da bei Schnittpunkten eine Umgebung 2 bzw. 4 Äste beinhaltet.

b) geschl. Kreisscheibe = Mannigf. mit Rand
offene Kreisscheibe = Mannigfaltigkeit mit Rand

Ist das so korrekt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nach wie vor völlig unsinnig. Du glaubst mir nicht und lernst auch nichts dazu. Warum stellst Du die Frage, wenn Du die Antwort nicht wissen willst ?
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