Topologie

07.10.2016, 17:08

Harald312

Topologie

Meine Frage:
Hi zusammen.

ich habe hier folgende Fragestellung:

X ist ein R-Vektorraum mit Norm und 0 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ U $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ X offen und zusammenhängend:
Zeige U ist wegzusammenhängend.

Tipp: Fixiere u \in U und setze
V:= { $\begin{eqnarray*} z \in U: Es gibt einen Weg \gamma :[ \alpha , \beta \end{eqnarray*}$ ]-> U
in U mit $\begin{eqnarray*} \gamma(\alpha)= u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ )= z}
Was gilt für z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ Vx

Vx ist die Komplementärmenge zu V.

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht das $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ja stetig ist wenn ich u fixiere
und somit auch $\begin{eqnarray*} V\subseteq U \end{eqnarray*}$ gelten müsste.

z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ Vx heißt ja dann z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U\V . Und wenn diese Menge leer ist, und V=U gilt, dann ist U wegzusammenhängend. Aber wie zeige ich das? Bzw. ist der Ansatz allgemein zielführend?

Lg smile

Edit Equester: Latexklammern gesetzt, Korrekturbeitrag entfernt.

08.10.2016, 01:03

10001000Nick1

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RE: Topologie

Zitat:

Original von Harald312
Ich habe mir gedacht das $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ja stetig ist wenn ich u fixiere
und somit auch $\begin{eqnarray*} V\subseteq U \end{eqnarray*}$ gelten müsste.

Das hat nichts mit der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ zu tun; man sieht direkt an der Definition von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nur Elemente aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthält.

Die Menge $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist eine Wegzusammenhangskomponente von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Ich würde es so machen:
Zeige zuerst, dass alle Wegzusammenhangskomponenten offener Mengen offen sind.
Danach kannst du die Aussage mit einem Widerspruchsbeweis zeigen: Angenommen, es gäbe zwei Wegzusammenhangskomponenten von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ; ... Dann leitest du einen Widerspruch dazu her, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist.

(Mit "offen" ist hier immer "offen bzgl. der von der Norm induzierten Topologie" gemeint.)

11.10.2016, 14:59

Harald312

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RE: Topologie
Aber wenn ich zeige, dass es nur eine Wegzusammenhangskomponente gibt, dann bedeutet dass ja noch nicht dass V=U.
Und das will ich ja letztendlich zeigen so wie ich dass verstehe.

Wie wäre dein Ansatz um zu zeigen, dass V offen ist? smile

11.10.2016, 15:46

Harald312

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RE: Topologie
Zu dem Teil, dass es nur eine Wegkomponente gibt:

Angenommen es gibt W $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ U, W $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0.
Dann gäbe es ein fixiertes y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U, sodass
W={z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U : Es gibt einen Weg sodass $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (a)=y und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (b)=z}.

Sei auch u \ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W, denn sonst gäbe es einen Weg von u über z nach y und somit wäre V=W. D.h es gibt KEIN z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U, für das gilt: z $\begin{eqnarray*} \in V \end{eqnarray*}$ und z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W.

Dann ist W $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ V = 0.
(Mir fehlt jetzt noch zeigen zu zeigen, dass W $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ V = U )

Somit ist U die Vereinigung von zwei nichtleeren, offenen Mengen. Das ist ein Widerspruch dazu, dass U zusammenhängend ist. -> Es gibt nur eine Wegzusammenhangskomponente.

12.10.2016, 21:39

10001000Nick1

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RE: Topologie

Zitat:

Original von Harald312
Aber wenn ich zeige, dass es nur eine Wegzusammenhangskomponente gibt, dann bedeutet dass ja noch nicht dass V=U.

Eine Menge ist die Vereinigung all ihrer Wegzusammenhangskomponenten. Wenn es also nur eine einzige Wegzusammenhangskomponente gibt, muss diese ganz $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sein. Das bedeutet dann, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ wegzusammenhängend ist.

Zitat:

Original von Harald312
Wie wäre dein Ansatz um zu zeigen, dass V offen ist? smile

Da benutzt die Definition offener Mengen in normierten Räumen: Zu jedem Punkt in der Menge muss eine Kugel um diesen Punkt vollständig in der Menge enthalten sein.

Du nimmst also irgendeinen Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus der offenen Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon}(x):=\{y\in X\mid \|y-x\|<\varepsilon\}\subseteq U \end{eqnarray*}$ .
Jetzt ist diese Kugel $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ aber wegzusammenhängend. Schau mal, ob du damit zeigen kannst, dass diese Kugel und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in derselben Wegzusammenhangskomponente enthalten sein müssen.
Damit hättest du dann gezeigt, dass die Wegzusammenhangskomponente von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , in der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthalten ist, offen ist.

Zu deinem letzten Beitrag: Wenn ich das richtig verstehe, wolltest du da zeigen, dass zwei verschiedene Wegzusammenhangskomponenten disjunkt sind. Das stimmt zwar, gilt aber für alle Mengen und benutzt keine der Voraussetzungen aus der Aufgabe.

Zitat:

Original von Harald312
Somit ist U die Vereinigung von zwei nichtleeren, offenen Mengen. Das ist ein Widerspruch dazu, dass U zusammenhängend ist. -> Es gibt nur eine Wegzusammenhangskomponente.

Das ist schon fast richtig, ein kleiner Schritt fehlt aber noch: Es könnte ja auch passieren, dass es mehr als zwei Wegzusammenhangskomponenten gibt. Wenn du dann nur zwei dieser Komponenten vereinigst, würde das noch nicht ganz $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ergeben.
Hast du eine Idee, was man noch machen müsste, damit der Beweis funktioniert?

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