Extrema mit Nebenbedingungen - Lagrange

07.10.2016, 19:08	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema mit Nebenbedingungen - Lagrange Meine Frage: (Ich bitte vorab zu entschuldigen, dass ich nicht in LaTex schreibe, aber mein Formeleditor lässt sich nicht öffnen :/ ) Liebe Community, zum Thema Extrema mit NB habe ich zwei Fragen: Frage 1: Ich hab folgende Definition zu Lagrange (abgekürzt): Def.1: Wenn f in a ein Extremum hat, so gilt: grad von f = lamda1* grad von g1 + lamda2 * grad von g2 + ... Def.2: L(x,y,...,lamda1,...)= f(x,y,..)+ g1(x,y,..)lamda1 + g2(x,y,..)lamda2 + ... Hier stellt sich für mich die Frage: Wenn ich beide Definitionen vergleiche, so müsste ich doch zwei verschiedene Gleichungen als Lösung haben, da die Definition 1 umgeformt lamda1* grad von g1 + lamda2 * grad von g2 + ... - grad von f ergibt. Also anders als in der Definition 2 wird hier f(x,y,...) subtrahiert anstatt addiert. Hier müsste also ein Fehler vorliegen. Was ist nun richtig? Frage 2: Wenn ich meine Nebenbedingung aus der Mengengleichung x^2+y^2 =< 4 aufstelle so könnte ich x^2+y^2-4=0 oder 4-x^2-y^2=0 erhalten. Beide Gleichungen würden ja zu einem unterschiedlichen Ergebnis führen (die Ableitung wäre für g(x) zb. entweder 2x oder - 2x) . Welche Vorgehensweise gilt es hier zu beachten, um keine Folgefehler zu riskieren? Meine Ideen: siehe oben Vielen Dank für eure Hilfe
07.10.2016, 23:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Des Rätsels Lösung ist einfach: Es sind zwei voneinander unabhängige Definitionen. Die $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ sind nicht dieselben, sondern unterscheiden sich vielmehr im Vorzeichen, wie Du richtig bemerkt hast.
08.10.2016, 12:33	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Aber welche Definition ist denn dann richtig? Bzw. wo fehlt noch ein Minus? Ich vermute nun, dass bei der ersten Definition auf der rechten Seite ein Minus ergänzt werden müsste. Bin mir aber nicht sicher und Vermutung ist ja bekanntlich nicht wissen Die Defintion 1 sehe dann so aus: $\begin{eqnarray} \nabla f = - \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \nabla g_{i} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} i\in(1,...,n) \end{eqnarray}$ (Man achte auf das Minus vor der Summe ) Noch eine Idee zu meine Frage 2?
08.10.2016, 12:38	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun funktioniert Latex, also nochmal zur Frage 2: Wenn ich meine Nebenbedingung aus der Mengengleichung $\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2} \leq 4 \end{eqnarray}$ aufstelle so könnte ich $\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}-4=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 4-x^{2}-y^{2}=0 \end{eqnarray}$ erhalten. Beide Gleichungen würden ja zu einem unterschiedlichen Ableitungsergebnis führen (die Ableitung wäre für die NB $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ ja zb. entweder $\begin{eqnarray} 2x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} - 2x \end{eqnarray}$ ) . Welche Vorgehensweise gilt es hier zu beachten, um keine Folgefehler zu riskieren?
08.10.2016, 14:17	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die zweite Frage habe ich wegen der besseren Übersicht einen neuen Thread aufgestellt. Lagrange Multiplikatoren Würde mich aber noch sehr über eine Antwort bezüglich meiner ersten Frage freuen
09.10.2016, 01:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn es in dem neuen Thread schon beantwortet wurde, noch einmal hier: Beide Definitionen sind richtig, sie liefern nur unterschiedliche Werte für $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ . Die zugehörigen Punkte sind aber dieselben. Du kannst beide anwenden und wirst bei korrekter Rechnung auf dieselben Extrempunkte kommen. Rechne es doch einmal am einfachen Beispiel $\begin{eqnarray} f(x,y)=y \end{eqnarray}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray} g(x,y)=x^2-y=0 \end{eqnarray}$ durch. Anschaulich geht es in diesem Problem um die Bestimmung des Scheitelpunktes der Parabel $\begin{eqnarray} y=x^2 \end{eqnarray}$ .
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