Lineare Unabhängigkeit Vektoren

07.10.2016, 20:10

UruguayGuido

Lineare Unabhängigkeit Vektoren

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich will für die drei Vektoren zeigen, ob sie linear unabhängig sind.

Dazu stelle ich das folgende LGS auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & | 0\\ 1 & 3 & 1 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich komme da dann auf folgende Lösung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & | 0\\ 0 & 4 & 1 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist folgender Ansatz jetzt richtig?

z = t
y = $\begin{eqnarray*} \frac{-t}{4} \end{eqnarray*}$
x = $\begin{eqnarray*} \frac{-t}{4} \end{eqnarray*}$

Die Linearkombination lautet also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{-t}{4}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{-t}{4} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da ich für t jede reelle Zahl eingeben kann und nicht nur 0, sind die 3 Vektoren linear unabhängig.

Kann man sagen: Wenn ich das zugehörige LGS nur mit Parameter lösen kann, dann sind die Vektoren auf jeden Fall lin. abh., weil ja dann nicht alle Faktoren in der LK 0 sind?

Danke und Grüße
UruguayGuido

07.10.2016, 23:20

Helferlein

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RE: Lineare Unabhängigkeit Vektoren

Zitat:

Original von UruguayGuido
Ich will für die drei Vektoren zeigen, ob sie linear unabhängig sind.

Über welchem Körper?

Zitat:

Original von UruguayGuido
Da ich für t jede reelle Zahl eingeben kann und nicht nur 0, sind die 3 Vektoren linear unabhängig.

Genau das Gegenteil ist der Fall: Sie sind linear abhängig.

Zitat:

Original von UruguayGuido
Kann man sagen: Wenn ich das zugehörige LGS nur mit Parameter lösen kann, dann sind die Vektoren auf jeden Fall lin. abh., weil ja dann nicht alle Faktoren in der LK 0 sind?

Prinzipiell ja.

08.10.2016, 00:07

Dopap

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drei lin. unabhängige Vektoren werden sich in der Ebene kaum finden lassen.

Mach dir das mal mit Papierpfeilen klar !.

08.10.2016, 10:35

UruguayGuido

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RE: Lineare Unabhängigkeit Vektoren
@Helferlein.

Das wäre der Körper der reellen Zahlen.

Okay, dann hab ich das verwechselt, sie sind linear abhängig.

Aber die prinzipielle vorgehensweise stimmte ja.

Danke!

08.10.2016, 14:24

klarsoweit

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RE: Lineare Unabhängigkeit Vektoren
Was die Vorgehensweise angeht, schreibe ich lieber die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe diese auf Zeilenstufenform. Entsteht eine Nullzeile, sind diese linear abhängig. smile

08.10.2016, 16:03

Dopap

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bei z.B. 3 Vektoren im R³ machen wir das so . Eigentlich ist der Ansatz doch:

$\begin{eqnarray*} \lambda \vec a +\mu \vec b +\tau \vec c =\vec 0 \end{eqnarray*}$

dann müssten die Vektoren eigentlich Spalten in der Matrix bilden
um ebenfalls mittels Zeilenstufenform etwas über die Parameter zu erfahren - verwirrt

08.10.2016, 19:43

klarsoweit

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Prinzipiell kann man das so machen. Ich halte nur - wie gesagt - meine Vorgehensweise für praktischer, zumal man nach Erreichung der Zeilenstufenform eine Familie von linear unabhängigen Vektoren erhält. Augenzwinkern

Aber wie so oft: jeder ist da seines Glückes Schmied.

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