Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariable

08.10.2016, 13:45	miss_jellyfish2	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariable Hallo zusammen, bei folgender Aufgabe komme ich leider irgendwie nicht weiter: Sei a eine positive Konstante und X eine kontinuierliche Zufallsvariable mit der Dichte $\begin{eqnarray} f_X(x) = \begin{cases} c & \mathrm{falls} \, 0 \le x \le a \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie c in Abhängigkeit von a. Nun ist die Dichtefunktion ja bekanntlich die Ableitung der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_X(x) \end{eqnarray}$ ; d.h. sofern für c eine Konstante herauskommt, muss die Verteilungsfunktion im Bereich $\begin{eqnarray} [0,a] \end{eqnarray}$ eine Gerade sein, also $\begin{eqnarray} F_X(x) = kx + d \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in [0,a] \end{eqnarray}$ . Dann fliegt beim Ableiten d sowie x raus und ich habe eine Konstante, egal, welches a ich wähle. Nun stehe ich aber an, weil ich immer noch nicht weiß, wie ich k wählen soll (und insbesondere, wie ich da eine Abhängigkeit zu a basteln soll). Ich vermute mal, dass die Gerade durch den Ursprung gehen wird. Aber da ich ja gerade die Steigung derselben definieren soll, kann ich doch einfach irgendwas wählen? Beispielsweise $\begin{eqnarray} F_X(x) = ax + d \end{eqnarray}$ , um damit dann $\begin{eqnarray} c = a \end{eqnarray}$ zu erhalten? Irgendwie fühlt sich das nicht richtig an, ich glaube, dass ich irgendwo was fundamentales übersehen habe. Über Hinweise wäre ich sehr dankbar! Vielen Dank, miss_jellyfish (die sich übrigens einen Account registrieren wollte, aber keine Aktivierungsmail erhalten hat)
08.10.2016, 13:52	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiss mal die Verteilungsfunktion und schau dir nur die Dichtefunktion an. Welche Eigenschaften muss eine solche Dichtefunktion denn besitzen? Wegen deines Accounts melde dich am besten mal unter [email protected].
08.10.2016, 14:23	miss_jellyfish2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die schnelle Antwort. Ich hab mir jetzt mal die Definition der Zufallsvariable X hergenommen - die lautet (nach meinen Vorlesungsfolien) $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\mathrm{d}x = 1 \end{eqnarray}$ . Das kann ich ja dann in drei Integrale aufteilen, also $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^0 f_X(x)\mathrm{d}x + \int_0^a f_X(x)\mathrm{d}x + \int_a^\infty f_X(x) \mathrm{d}x = 1 \end{eqnarray}$ . Das erste und letzte ist trivial 0, womit wir das dann auf $\begin{eqnarray} \int_0^a f_X(x)\mathrm{d}x = 1 \end{eqnarray}$ einreduzieren. Dann integrieren: $\begin{eqnarray} \int_0^a f_X(x)\mathrm{d}x = \left. c \cdot a \right\|_0^a = c \cdot a - c \cdot 0 = c \cdot a \end{eqnarray}$ und einsetzen: $\begin{eqnarray} c \cdot a = 1 \rightarrow c = \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ Fühlt sich schonmal richtiger an, danke dir!
08.10.2016, 14:26	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, $\begin{eqnarray} c=\frac 1a \end{eqnarray}$ ist richtig.

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