Zusammenhängende topolog. Räume

08.10.2016, 13:57	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhängende topolog. Räume Hallo liebes Forum Ich habe eine Frage zu folgendem Problem. Sei C(X, Y) := {f \| f: X -> Y und f stetig} und X nicht die leere Menge, Y ein bel. top. Raum. Wieso gilt dann das hier: $\begin{eqnarray} C(X, \bigcup_{i \in I} Y_i) \end{eqnarray}$ homöomorph zu $\begin{eqnarray} \bigcup_{i \in I} C(X, Y_i) \end{eqnarray}$ , wenn X zusammenhängend ist? Um der Lösung auf die Spur zu kommen, habe ich mal angenommen, X sei nicht zusammenhängend. Dann besteht X aus Zusammenhangskomponenten $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} X_i \cap X_j = \{ \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X = \bigcup_{i} X_i \end{eqnarray}$ , wobei die X_i nicht leer, offen und abgeschlossen sind. Hier stehe ich momentan und sehe noch nicht genau, wie ich schlussendlich obige Aussage zeigen könnte. Hätte mir jemand einen Tipp? Vielen Dank
08.10.2016, 16:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhängende topolog. Räume Anstatt es dir so abstrakt zu überlegen, nimm dir doch explizite Räume. Also $\begin{eqnarray} X = [0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y_1 = [2,3] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y_2 = [10,12] \end{eqnarray}$ , immer mit der Standardtopologie als Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du dir ein paar stetige Funktionen $\begin{eqnarray} f: X \to ( Y_1 \cup Y_2) \end{eqnarray}$ aufmalen. Fällt dir was auf?
08.10.2016, 20:47	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhängende topolog. Räume Ok, man konnte z.B. sagen: f: x --> x+2 oder: f: x --> x + 10 oder: f: x --> x+11 Damit aber ein Homöomorphismus vorliegt, müsste eine bijektive Abbildung vorhanden sein, was hier nicht der Fall ist. Daher muss X zwingend zusammenhängend sein.
10.10.2016, 10:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhängende topolog. Räume Mein Beispiel $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ IST zusammenhängend... Du hast eindeutig die Aussage nicht verstanden. Was deine Beispiele zeigen, du es nicht gemerkt hast: Dein erstes $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bildet nur nach $\begin{eqnarray} Y_1 \end{eqnarray}$ ab. die beiden anderen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bilden nur nach $\begin{eqnarray} Y_2 \end{eqnarray}$ . Die zu zeigende Aussage ist das: Ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig, und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ zusammenhängend, so kann es nur in eine Menge $\begin{eqnarray} Y_i \end{eqnarray}$ abbilden. In Kurz: Du willst zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f^{-1}(Y_i) = \emptyset \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f^{-1}(Y_i) = X \end{eqnarray}$ .

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