Lagrange Multiplikatoren

08.10.2016, 14:15	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Multiplikatoren Meine Frage: Hallo liebe Community, es geht um folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^{2}->\mathbb R <br /> (x,y) -> x^{3}-3xy^{2} <br /> <br /> M=((x,y)\in \mathbb R^{2}\| 1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4)<br /> \end{eqnarray}$ Finde das absolute Maximum und das absolute Minimum von f auf der Menge M. Meine Ideen: Meine Frage bezieht sich eigentlich nur auf eine formelle Sache: Ich weiß, dass die beiden aufzustellenden Nebenbedingungen linear abhängig sind, sodass eine Nebenbedingung wegfällt. Jetzt meine Frage: Wie entscheide ich, welche Bedingung nun wegfällt als Lagrange Multiplikator? und Frage 2: Wenn ich nun eine Nebenbedingung aus der Mengengleichung (zB $\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2} \leq 4 \end{eqnarray}$ ) nach 0 umstelle, so könnte ich $\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}-4=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 4-x^{2}-y^{2}=0 \end{eqnarray}$ erhalten. Beide Gleichungen würden ja zu einem unterschiedlichen Ableitungsergebnis führen (die Ableitung wäre für die NB ja zb. entweder $\begin{eqnarray} g'(x) =2x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} g'(x) = - 2x \end{eqnarray}$ ) . Welche Vorgehensweise gilt es hier zu beachten, um keine Folgefehler zu riskieren?[/quote]
08.10.2016, 16:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Multiplikatoren Was soll lineare Abhängigkeit bei Nebenbedingungen überhaupt heißen? Und es sollte dir merkwürdig vorkommen, dass du die Menge M willkürlich ändern darfst, ohne dass sich das Ergebnis der Maxima und Minima ändert. D.h. keine der Nebenbedingungen fällt weg. Es ist $\begin{eqnarray} \partial M = \{ (x,y) \in \mathbb R^2: x^2 + y^2 = 1 \} \cup \{ (x,y) \in \mathbb R^2: x^2 + y^2 = 4 \} \end{eqnarray}$ . D.h. man berechnet die Extrema auf beiden Rändern und vergleicht welches "extremer" ist (größer bei Maxima, kleiner bei Minima). Zur zweiten Frage: Am Ende sagt der Satz von Lagrange: Es gibt ein $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , so dass [...] Je nachdem wie du $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ wählst, wird dieses $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein anderes Vorzeichen haben, aber es hat (soweit ich weiß) keine geometrische Bedeutung. In kurz: Such dir das g, was dir sympathischer ist.
08.10.2016, 16:58	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Multiplikatoren Ok super, jetzt hab ich es verstanden Ich betrachte dann also noch jeden Fall einzeln und vergleiche dann die Werte. Jetzt habe ich noch eine Frage zum Aufstellen der Lagrange Funktion: Ich habe zwei unterschiedliche Definitionen: Die Definition 1: $\begin{eqnarray} \nabla f = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \nabla g_{i} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} i\in(1,...,n) \end{eqnarray}$ Die Definition 2: $\begin{eqnarray} L(x,y,...,\lambda_{i}) = f(x,y,...)+ g_{i} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} i\in(1,...,n) \end{eqnarray}$ Betrachte ich nun beide Definitionen, so fällt mir auf, dass sich hier unterschiedliche Vorzeichen ergeben. Denn wenn ich die $\begin{eqnarray} \nabla f \end{eqnarray*}$ aus der Definition 1 auf die andere Seite bringe, so wird diese anderes als in Definition 2 subtrahiert und nicht addiert. Folglich erhalte ich doch unterschiedliche Ergebnisse. Wo ist daher mein Fehler?
08.10.2016, 20:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Multiplikatoren Die unterscheiden sich doch wieder nur um ein Vorzeichen in den $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Es ist das gleiche Vorzeichen, das du bei der Aufstellung der Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ frei wählen kannst. Schreiben wir etwas anders: Die Definition 1: $\begin{eqnarray} \nabla f = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \nabla g_{i} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} i\in(1,...,n) \end{eqnarray}$ Die Definition 2: $\begin{eqnarray} L(x,y,...,\mu_{i}) = f(x,y,...)+ g_{i} \mu_{i} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} i\in(1,...,n) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \mu_i = - \lambda_i \end{eqnarray*}$ , was für die Methode irrelevant ist, da der Satz nur sagt es existieren diese Zahlen, falls Extrema vorliegen.

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