Trägheitstensor eines dünnen Stabs

08.10.2016, 16:28

Heisenberg93

Trägheitstensor eines dünnen Stabs

Meine Frage:
Guten Abend,

in einer Aufgabe, muss ich den Trägheitstensor eines homogenen Stabes der Länge L und dicke 0 in Diagonalform bestimmen.

Dazu hätte ich einige Verständnis fragen

Meine Ideen:
Wie genau sieht meine Dichte aus?

$\begin{eqnarray*} \rho=\frac{m}{V}=\frac{m}{xyz} \end{eqnarray*}$ Die Dicke ist aber 0, d.h. z=0 ?

Um die einzelnen Komponenten des Trägheitstensors (z.B. $\begin{eqnarray*} T_{xx} \end{eqnarray*}$ ) zu berechnen, gehe ich ja immer von einem Volumen Integral aus, welches folgende Form hat

$\begin{eqnarray*} \int_{V}^{}dV \rho (r^2-x^2) \end{eqnarray*}$

Wie sehen meine Integrationgrenzen für dx,dy,dz aus, damit ich das Volumenintegral umschreiben kann?
Irgendwie irritiert mich das, mit der dicke 0.

08.10.2016, 17:53

Hausmann

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RE: Trägheitstensor eines dünnen Stabs
Moin!

Der T.Tensor bezieht sich auf ein bestimmtes (i.a. körperfestes) Koordinatensystem. Welches möchtest Du? Die allgemeine Formel für die Tesorelemente ist bekannt? Wegen der konstanten Dichte $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ gehen bloß die Volumenelemente $\begin{align*} dV \end{align*}$ ein. Dicke null bedeutet rechnerisch eine massebehaftete Strecke mit der Längendichte (sagt man so?) $\begin{align*} \lambda=\tfrac M L \end{align*}$ , also etwa $\begin{align*} dm=\varrho \cdot dV= \lambda \cdot dL \end{align*}$ .

08.10.2016, 18:24

Heisenberg93

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Die Gleichung für die einzelnen Tensorelemente ist bekannt.

Aufgrund der Symmetrie muss ja nur die folgenden Elemente berechnen $\begin{eqnarray*} T_{xx},T_{yy},T_{zz} \end{eqnarray*}$ die anderen sind null.

$\begin{eqnarray*} T_{xx}=\int_{V}^{}dV \rho (r^2-x^2)=\int_{0}^{l}(y^2 + z^2)\lambda dl \end{eqnarray*}$

Hmm, ist das so richtig?

(Das mit der Dicke 0, verunsichert mich irgendwie....)

08.10.2016, 18:42

yellowman

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Hallo Heisenberg93, bevor du loslegst, solltest du dir über die Massendichte Gedanken machen. Ich gebe dir vorab ein wenig Hilfe. Wir legen den Stab symmetrisch entlang der x-Achse.

$\begin{eqnarray*} \rho(r)=C[\theta(x+l/2)-\theta(x-l/2)]\delta(y)\delta(z) \end{eqnarray*}$

Die Größe $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ muss vorab bestimmt werden. Dazu benutzt du die Definition der Masse m.

$\begin{eqnarray*} m=\int\rho d^3r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=C\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-l/2}^{l/2}\delta(y)\delta(z)dxdydz \end{eqnarray*}$

Das Integral wertest du aus und löst nach $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auf. Dann hast du erstmal die lineare Massendichte für deinen Stab bestimmt.

Viele Grüße

08.10.2016, 19:48

Heisenberg93

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Danke für deine Antwort

Was soll den die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \delta (y),\delta (z) \end{eqnarray*}$ sein?

08.10.2016, 20:46

yellowman

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Zitat:

Original von Heisenberg93
Danke für deine Antwort

Was soll den die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \delta (y),\delta (z) \end{eqnarray*}$ sein?

Das sind Delta-Funktionen. Weißt du wie man diese integriert?
Falls nicht, einfach mal nachschlagen.

Viele Grüße

08.10.2016, 20:54

Hausmann

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Zitat:

Aufgrund der Symmetrie muss ja nur die folgenden Elemente berechnen $\begin{eqnarray*} T_{xx},T_{yy},T_{zz} \end{eqnarray*}$ die anderen sind null.

Welche Symmetrie?
Hier wird lustig integriert ohne ein Wort zu den verwendeten Koordinaten. smile

09.10.2016, 07:58

thx2

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Zitat:

Original von Heisenberg93
Das mit der Dicke 0, verunsichert mich irgendwie

dann ist eins davon

$\begin{eqnarray*} T_{xx},T_{yy},T_{zz} \end{eqnarray*}$

auch 0

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