Nullstellen einer Funktionsschar

09.10.2016, 10:29

3687952

Nullstellen einer Funktionsschar

Hallo, ich schreibe nächste Woche eine Matheklausur und habe gerade eine Übüngsaufgabe gemacht.
Ich soll die Nullstellen von der Funktion: $\begin{eqnarray*} fa(x) = x^4 - 2a^2 x^2 -3a^4 \end{eqnarray*}$
Ich weiss nicht wie ich das machen soll, hab das mit Substition versucht aber funktioniert nicht.

09.10.2016, 10:45

Mulder

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RE: Nullstellen einer Funktionsschar
Substitution klingt doch gut. Setze $\begin{eqnarray*} x^2=t \end{eqnarray*}$ . Dann hast du eine quadratische Gleichung, die du einfach mit der pq-Formel lösen kannst.

09.10.2016, 10:56

3687952

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Ich habe das so geschrieben: $\begin{eqnarray*} x^4 = z^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2 = z \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} fa(x) = z^2 - 2a^2z -3a^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z 1/2 = a +- Wurzel aus (a+3a^4) \end{eqnarray*}$

weiter komme ich nicht

09.10.2016, 14:07

Mulder

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RE: Nullstellen einer Funktionsschar
Da haben sich beim Benutzen der pq-Formel gleich zwei Fehler eingeschlichen.

Magst du nochmal rechnen? Wenn du es richtig machst, kannst du hinterher auch noch ziemlich viel vereinfachen.

Und danach musst du ja nur noch deine Substitution rückgängig machen. Sprich für z setzt du dann wieder x² ein und löst dann nach x auf. Dann hast du deine Lösungen.

09.10.2016, 14:56

3687952

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$\begin{eqnarray*} Ansatz: fa (xN) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4 = z^2 , x^2=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=z^2 - 2az -3a^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1,2 = a +- Wurzel aus: a^2+3a^4 \end{eqnarray*}$

Jetzt komm ich nicht weiter, ich dachte als erstes den Ausdruck in der Wurzel zu vereinfachen, so:

$\begin{eqnarray*} z1,2 = a +- Wurzelaus: 3a^2 \end{eqnarray*}$

Also die $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ wegmachen

Und jetzt bin ich bei der Tangentengleichung, ich kann das ohne Parameter aber mit Parameter komme ich ziemlich durcheinander unglücklich

Ich soll die Tangentengleichung bei x0=2 bilden:

$\begin{eqnarray*} ta(x)=m * x + n= m(x - xo) + y0 \end{eqnarray*}$

1. Ableitung ist von der gleichen Gleichung wie bei den Nullstellen: $\begin{eqnarray*} fa'(x)=4x^3 -4a^2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=fa' (2)= 4*2^3 - 4a^2 * 2= 32 - 8a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y0= fa(2)= 16 - 2a^2 * 4 -4a^4 = 16 - 8a^2 - 3a^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ta(x)=32-8a^2 (x - 2) + 16 - 8a^2 -3a^4 \end{eqnarray*}$
Ich glaub dass das nicht richtig ist, ist viel zu lang kann man das irgendwie zusammenfassen?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir irgendjemand das richtig vorrechnet. Bin schon den ganzen Tag an den Aufgaben smile

09.10.2016, 15:04

Helferlein

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RE: Nullstellen einer Funktionsschar
Du verwurstelst irgendwie die a-Terme. Die bleiben aber gleich.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\underbrace{x^4}_{z^2}-2a^2\underbrace{x^2}_{z}-3a^4 \end{eqnarray*}$
Also lautet die zu lösende quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} 0={z^2}-2a^2z-3a^4 \end{eqnarray*}$

09.10.2016, 15:33

3687952

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Also:
$\begin{eqnarray*} z1,2 = 2a^2/2 +- Wurzelaus: a^2 +3a^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z1,2= a^2 +- Wurzelaus: a^2 + 3a^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z1,2 = a^2 +- a + 3a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1= 4a^2 + a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z2=4a^2 -a \end{eqnarray*}$

Hast du eine Idee für die Tangentengleichung? Big Laugh

09.10.2016, 15:53

Bürgi

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Guten Tag,

ich betätige mich hier als Spurhalteassistent, denn dafür

Zitat:

Hast du eine Idee für die Tangentengleichung?

ist es noch viel zu früh.

Lösung einer quad. Gleichung mittels pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0\ \Longleftrightarrow x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(-\frac p2 \right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
1. Unter der Wurzel hast Du den Ausdruck $\begin{eqnarray*} 2a^2/2 \end{eqnarray*}$ nicht quadriert
2. In der dritten Zeile hast Du nicht die Wurzel aus einer Summe gezogen

3. da capo

09.10.2016, 16:03

3687952

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In der Klammer kommt kein Minus, also:
$\begin{eqnarray*} z1,2= a^2 +- a^4 + 3a^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z1,2= a^2 +- 4a^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z1= a^2 + 4a^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z2= a^2 -4a^4 \end{eqnarray*}$

09.10.2016, 16:12

Bürgi

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Hallo,

ich kann leider nicht nachvollziehen, was Du da eigentlich rechnest:

Aus
$\begin{eqnarray*} 0={z^2}-2a^2z-3a^4 \end{eqnarray*}$

folgt:

$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=a^2 \pm \sqrt{a^4+3a^4} \end{eqnarray*}$

Jetzt unter der Wurzel zusammenfassen und richtig die Wurzel ziehen

09.10.2016, 16:22

3687952

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Ahhh, hab vergessen die Wurzel zu ziehen Hammer

$\begin{eqnarray*} z1,2 = a^2 +- Wurzel aus a^4 + 3a^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z1,2 = a^2 +- Wurzel aus: 4a^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z1,2 = a^2 +- 2a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z1= 3a^2,z2=-a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1= +- Wurzel aus 3a^2 = +- wurzel aus 3 * a \end{eqnarray*}$
und z2 ist nicht lösbar wegen minus

09.10.2016, 16:28

3687952

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Jemand Idee wegen Tangentengleichung?

10.10.2016, 09:30

Bürgi

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Guten Morgen,

eine mögliche Antwort auf Deine Frage wäre ja. Auf Deutsch: Mit solch einer Frage kann man nun wirklich nichts anfangen.

Du brauchst für eine Tangentengleichung einen Berührpunkt $\begin{eqnarray*} T(t \mid f_a(t)) \end{eqnarray*}$ und die in diesem Punkt vorhandene Steigung $\begin{eqnarray*} m = f_a'(t) \end{eqnarray*}$

Benutze die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{y-f_a(t)}{x-t}=f_a'(t) \end{eqnarray*}$

und löse nach y auf.

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