Vollständige Induktion(Gaußsche Summenformel, Abelsche Partielle Summation)

09.10.2016, 13:34

pspracers

Vollständige Induktion(Gaußsche Summenformel, Abelsche Partielle Summation)

Hallo,

Seit Stunden verzweifle ich an diesem Bsp:
[attach]42713[/attach]

Ich weiß leider nicht wo ich anfangen soll Hilfe

Anfangs wollte ich es mittels der Gaußschen Summelformel probieren die Summen aufzulösen, dabei weiß ich allerdings nicht wie ich mit den Indizes dabei umgehen sollte.
Später bin ich auf die Abelsche Partielle Summation gestoßen, von dieser Methode habe ich allerdings noch nie gehört (schon gar nicht vom Vortragenden), die scheint allerdings passend zum Bsp zu sein.
Dennoch finde ich keinenLösungsanfang Hilfe

Vielen Dank!

09.10.2016, 14:45

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion(Gaußsche Summenformel, Abelsche Partielle Summation)

Zitat:

Original von pspracers
Ich weiß leider nicht wo ich anfangen soll Hilfe

Eigentlich mit dem Induktionsanfang, der hier aber sehr simpel ist.
Der Induktionsschritt ist im Grunde auch kein Hexenwerk. (Habe 5 Minuten gebraucht, echte Vollprofis wären vermutlich noch schneller.) Fang da einfach mal mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} a_k b_k \end{eqnarray*}$ an und nutze die Induktionsvoraussetzung. Mehr als 3 Zeilen sind es nicht. smile

09.10.2016, 16:03

pspracers

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Danke für die Antwort! smile

Den Induktionsanfang hab ich auch schon hinbekommen, dafür muss auch die Summen nicht wegbekommen, allerdings habe ich eben beim Induktionsschritt das Problem das ich nicht weis wie ich diese 3 Summen auf der rechten Seite weg bekomme, hab bisher nur Bsp mit einer Summe gehabt.

09.10.2016, 20:08

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion(Gaußsche Summenformel, Abelsche Partielle Summation)
Du sollst ja nicht Summen wegbekommen, sondern diese Summen unter Nutzung der Induktionsvoraussetzung geschickt umformen:

Es gelte: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k b_k = a_n \cdot \sum_{k=1}^n b_k - \sum_{k=1}^{n-1} \left((a_{k+1} - a_k) \cdot \sum_{j=1}^k b_j \right) \end{eqnarray*}$

Nun ist: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} a_k b_k = \sum_{k=1}^n a_k b_k + a_{n+1} b_{n+1} = a_n \cdot \sum_{k=1}^n b_k - \sum_{k=1}^{n-1} \left((a_{k+1} - a_k) \cdot \sum_{j=1}^k b_j \right) + a_{n+1} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ (Gleichung I)

Nutze nun, daß $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \left((a_{k+1} - a_k) \cdot \sum_{j=1}^k b_j \right) = \sum_{k=1}^{n-1} \left((a_{k+1} - a_k) \cdot \sum_{j=1}^k b_j \right) + (a_{n+1} - a_n) \cdot \sum_{j=1}^n b_j \end{eqnarray*}$ ist. Ersetze damit die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1} \left((a_{k+1} - a_k) \cdot \sum_{j=1}^k b_j \right) \end{eqnarray*}$ in Gleichung I.

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