Konvergenzradius

09.10.2016, 14:04

Chris11

Konvergenzradius

Meine Frage:
Ich soll von der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} n*x^n \end{eqnarray*}$ den Konvergenzbereich bestimmen.

Meine Ideen:
Dazu muss ich ja erst den Konvergenzradius bestimmen, was ich so mache:

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty} |\frac{a_k}{a_{k+1}}|=\lim_{n \to \infty} |\frac{(n+1)*x^{n+1}}{n*x^n}|\Rightarrow x+ \frac{x}{n} \end{eqnarray*}$

X müsste also 0 sein damit die Reihe konvergiert.
Aber laut Lösung ist -1<r<1 .. warum?

Danke

09.10.2016, 14:11

Mulder

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RE: Konvergenzradius
Du hast die Formel für die Berechnung des Konvergenzradius' offenbar falsch aufgefasst. Es ist in deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} a_n=nx^n \end{eqnarray*}$ .

Bzw. bei deiner Notation eben $\begin{eqnarray*} a_k = k \end{eqnarray*}$ . Ist ja egal.

Außerdem hast du $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ im Zähler stehen und $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ im Nenner - es muss aber genau umgekehrt betrachtet werden (auch wenn das rechnerisch hier in diesem Beispiel keinen Unterschied machen wird).

09.10.2016, 14:11

10001000Nick1

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Weißt du, was der Konvergenzradius aussagt? Wenn ja, müsste dir auffallen, dass es völlig unsinnig ist, wenn bei deinem Konvergenzradius ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auftaucht.

Schau dir nochmal genau an, was das $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ in der Formel für den Konvergenzradius ist und lies vielleicht auch mal diesen Beitrag.

10.10.2016, 15:09

Chris11

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Hahaha, ich hab das wirklich falsch verstanden :P

r = (-1,1)

Den 2. Punkt der Frage versteh ich aber immer noch nich:

Zeigen sie durch Differentation der Summenformel für geom. Reihen, dass im Konvergenzradius gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} n*x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Ich weiß:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)^2}=x* \frac{1}{1-x}*\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

aber wie hilft mir das weiter?

Vielen Dank

10.10.2016, 15:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Chris11
Ich weiß:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Korrekt ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} - 1 \end{eqnarray*}$ . Da solltest du jetzt beide Seiten nach x differenzieren.

Zitat:

Original von Chris11
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)^2}=x* \frac{1}{1-x}*\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Was soll uns das sagen? verwirrt

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