Vervollständigung des metrischen Raumes

09.10.2016, 13:30	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Vervollständigung des metrischen Raumes Hallo zusammen, Ich bin mir nicht sicher, ob ich folgende Aufgabe richtig verstehe. Es steht man müsse auf kanonische Weise zeigen, dass die Vervollständigung ein Banach-Raum sei. Ich bin mir wegen dem "kanonisch" aber nicht sicher, ob ich die Aufgabe verstehe. Die Aufgabenstellung ist in Englisch: Let $\begin{eqnarray} (X,\\|\cdot\\|) \end{eqnarray}$ be a normed $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ -vector space and let $\begin{eqnarray} (\hat{X},\hat{d}) \end{eqnarray}$ be the completion of the metric space $\begin{eqnarray} (X,d) \end{eqnarray}$ with $\begin{eqnarray} d(x,y)=\\|x-y\\| \end{eqnarray}$ . Show that in a canonical way $\begin{eqnarray} (\hat{X},\hat{d}) \end{eqnarray}$ is a Banach space. Ich verstehe nicht genau, was mit "canonical way" gemeint ist und was ich jetzt alles zeigen muss und was schon gilt. Also ich muss zeigen dass die Vervollständigung ein Banach-Raum ist i.e. ein normierter Raum, der vollständig ist. Heisst das nun, dass ich zuerst zeigen muss, dass durch die Metrik $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ auf den Cauchy-Folgen eine Semimetrik $\begin{eqnarray} d_s \end{eqnarray}$ entsteht und diese dann zur Metrik $\begin{eqnarray} \hat{d} \end{eqnarray}$ wird? Muss ich somit die Metrik-Axiome beweisen oder ist schon klar, dass die Vervollständigung ein normierter Raum ist und ich muss nur die Vollständigkeit zeigen?

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