Gleichmäßige Stetigkeit von f(x,y)=3x-2y

09.10.2016, 18:06	bibor96	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit von f(x,y)=3x-2y Meine Frage: Hallo, ich versuche mich hier seit einigen Stunden an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Also es geht um Folgendes: Man soll untersuchen ob die Funktion gleichmäßig stetig ist. $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R, f(x,y)=3x-2y \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin bisher soweit gekommen: $\begin{eqnarray} \|f(x,y)-f(x_0,y_0)\|=\|3(x-x_0)-2(y-y_0)\|\leq3(\|x-x_0\|+\|y-y_0\|) \end{eqnarray}$ Ich muss ja irgendwie auf den Ausdruck $\begin{eqnarray} d_2(p,p_0)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta \end{eqnarray}$ kommen. Ist mein Ansatz so in Ordnung; komme ich damit weiter?
10.10.2016, 03:22	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit von f(x,y)=3x-2y Du kannst z.B. $\begin{eqnarray} f(x,y)=\begin{pmatrix} 3\\ -2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ schreiben. Cauchy-Schwarz ergibt (Deine Notation) $\begin{eqnarray} \|f(x,y)-f(x_0,y_0)\|\le\sqrt{13}\cdot d_2(p,p_0). \end{eqnarray}$
10.10.2016, 14:15	bibor96	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erstmal vielen Dank für deine Antwort. Also ich habe von der Cauchy-Schwarz Ungleichung noch nie was gehört und mich erstmal versucht damit vertraut zu machen. Nur leider kann ich deinen Schritt nicht wirklich nachvollziehen
10.10.2016, 14:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch elementarer. Zeige durch Äquivalenzumformungen erst, dass $\begin{eqnarray} 0 \leq (a-b)^2 \iff 2ab \leq a^2 +b^2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ . Folgere daraus, dass $\begin{eqnarray} 2(a^2 + b^2) \geq (a+b)^2 \end{eqnarray}$ gilt. Nach geeigneter Wahl von $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ steht die Behauptung da. Das einfachste abstrakte Argument wäre: Im endlich-dimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sind alle Normen äquivalent.

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