7 Kugeln, 6 Farben, 2 Bedingungen: Wie viele Möglichkeiten?

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Palomina Auf diesen Beitrag antworten »
7 Kugeln, 6 Farben, 2 Bedingungen: Wie viele Möglichkeiten?
Meine Frage:
Hallo liebe Forumleser!

Hier eine für mich zu knifflige Aufgabe:

Es sollen 7 Kugeln angeordnet werden, die 6 verschiedene Farben haben können. Es dürfen maximal 2 nebeneinander liegende Kugeln die gleiche Farbe haben, in jeder Anordnung darf eine Farbe maximal 3 mal vorkommen.

Meine Ideen:
Ohne die beiden Bedingungen ist es leicht: 6? = 279936 verschiedene Anordnungen. Aber wie man die beiden Bedingungen in eine Formel packt würde ich gerne wissen. Würde man die Farben numerieren, fallen ja z.B. schon mal alle Anordnungen weg, die mit 111xxxx oder 222xxxx usw. beginnen, auch x11x1x1 oder 11x11xx käme nicht vor.

Hoffentlich hat da jemand eine Idee...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nähern wir uns der Sache mal schrittweise:


1) Anzahl aller Anordnungen von 7 Kugeln in 6 Farben, von denen keine mehr als dreimal vorkommt:

Zunächst mal ist festzustellen, dass bei 7 Kugeln wegen 4+4>7 zugleich höchstens eine Farbe mehr als dreimal (also mindestens viermal) vorkommen kann. Für eine feste Farbe betrifft das Anordnungen, d.h. insgesamt haben wir solche Anordnungen.


2) Bei wie vielen der unter 1) berechneten Anordnungen gibt es Konfigurationen mit 3 nebeneinander liegenden gleichfarbigen Kugeln? Sei

... Menge Konfigurationen aus 1) mit dreimal Farbe nebeneinander

Das Tripel kann an den Positionen 1..5 starten, und da außer diesen drei Vorkommen die Farbe sonst in der Konfiguration nicht mehr auftreten darf, gilt

.

Für gilt außerdem

,

dabei steht die 3 für die Anzal der möglichen Positionen der einen Kugel, die nicht in gefärbt ist (möglich sind da die Positionen 1,4 oder 7), 4 für die Anzahl der Farben ungleich , und 2 für die Möglichkeiten sowie in der Reihenfolge der - bzw. -Blöcke.

Nach Siebformel gilt damit




3) Die Differenz der Anzahlen aus 1) und 2) ist die Antwort auf deine Frage, d.h. .


EDIT: Hmm, in 2) ist noch was falsch - mal sehen, wer es findet. Augenzwinkern
Palomina Auf diesen Beitrag antworten »
7 Kugeln, 6 Farben, 2 Bedingungen: Wie viele Möglichkeiten?
Erst mal vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Dabei muss ich feststellen, dass mir nicht nur die Frage zu knifflig ist, sondern auch die Antwort. Daher kann ich das Ergebnis zwar dankend verwenden, die Begründung aber leider nicht mitliefern können, weil mir dazu einfach die Grundlagen fehlen.

Was jetzt in 2) vielleicht noch nicht stimmt werde ich daher auch nie herausfinden können. Aber vielleicht kannst Du mir den Satz hier noch mal erklären:

Zitat:
Original von HAL 9000
Das Tripel kann an den Positionen 1..5 starten, und da außer diesen drei Vorkommen die Farbe k sonst in der Konfiguration nicht mehr auftreten darf, gilt...


Was meinst Du mit "drei Vorkommen"?

Grüße
Palomina
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na beispielsweise k=1, dann kommen die drei Kugeln der Farbe 1 hintereinander dort vor, aber an den restlichen 4 Positionen dürfen die Kugeln nicht die Farbe 1 haben. D.h., das "Vorkommen" der Farbe 1 innerhalb der Anordnung der 7 Kugeln ist nur bei den drei hintereinanderliegenden Kugeln anzutreffen.
Palomina Auf diesen Beitrag antworten »
7 Kugeln, 6 Farben, 2 Bedingungen: Wie viele Möglichkeiten?
Danke, das hab ich jetzt wenigstens verstanden.

Wird das, was in 2) noch falsch ist, am Ergebnis etwas ändern?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 7 Kugeln, 6 Farben, 2 Bedingungen: Wie viele Möglichkeiten?
Ja. Ich will aber hier kein langes Rätselraten veranstalten, korrigiert werden muss



was zum korrigierten Endergebnis 232080 führt.
 
 
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