Partialbruchzerlegung ohne reelle Nullstellen

10.10.2016, 11:34

forbin

Partialbruchzerlegung ohne reelle Nullstellen

Hallo Leute,

an sich kann ich die Partialbruchzerlegung, aber eine Sache ist mir noch nicht klar.
Angenommen, ich habe einen Bruch mit dem Nenner $\begin{eqnarray*} x^{2}+4 \end{eqnarray*}$ . Nun würde ich ja für die Partialbruchzerlegung den Ansatz $\begin{eqnarray*} \frac{Cx+D}{x^{2}+4} \end{eqnarray*}$ machen.
Was würde ich aber machen, wenn der Nennergrad größer ist und keine reellen Nullstellen hat?
Muss ich dann im Nenner immer ein Polynom nehmen, dass im Grad um eins kleiner ist?

10.10.2016, 11:40

IfindU

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Polynome ungeraden Grades haben immer eine reelle Nullstelle. Nach Faktorisierung dieser bleibt es nur noch Polynome mit geraden Grad zu betrachten. Gerade Polynome lassen sich immer als Produkt Polynome zweiten Grades schreiben. Das liegt daran, dass mit $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auch immer das komplex-konugierte $\begin{eqnarray*} \overline z \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist, und damit $\begin{eqnarray*} (x - z)(x - \overline z) = x^2 -x (z + \overline z) + |z|^2 \end{eqnarray*}$ D.h. man kann es immer auf den Ansatz reduzieren, wenn es drauf anlegt.

Vermutlich tut dein Ansatz auch, aber ob der so hilfreich (zum Beispiel beim Integrieren) ist, wage ich zu bezweifeln.

10.10.2016, 12:54

forbin

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Danke sehr.
Ich wollte tatsächlich die komplexe Nullstelle Faktorisierung umgehen.
Ich nehme mal als konkretes Beispiel diese Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \int\frac{x^{6}+x^{4}+x}{x^{4}-1}dx \end{eqnarray*}$
Polynomdivison ergibt: $\begin{eqnarray*} x^{2}+x+\frac{x^{2}+x+1}{x^{4}-1} \end{eqnarray*}$

Nun nutze ich den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+1} \end{eqnarray*}$

Was hätte ich aber gewählt, wenn mein Nenner $\begin{eqnarray*} x^{4}+1 \end{eqnarray*}$ wäre?

Mit den komplexen Nullstellen kam ich nicht weiter, deshalb habe ich diesen Ansatz gewählt.

10.10.2016, 12:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von forbin
Was hätte ich aber gewählt, wenn mein Nenner $\begin{eqnarray*} x^{4}+1 \end{eqnarray*}$ wäre?

Doch, mit den komplexen Nullstellen kommt man da weiter. Rein reell geht es zwar auch über

$\begin{align*} x^4+1 = (x^2+1)^2-2x^2 = (x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1) \end{align*}$

doch irgendwie höre ich da schon die Frage "wie kommt man darauf?". Augenzwinkern

10.10.2016, 13:30

forbin

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Doch, das kann ich nachvollziehen.
Dann sollte ich mich mit den komplexen Nullstellen mal auseinandersetzen.

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