Relationen: (nicht) reflexiv, (nicht) symmetrisch, (nicht) transitiv

10.10.2016, 12:03

sndhlp

Relationen: (nicht) reflexiv, (nicht) symmetrisch, (nicht) transitiv

Meine Frage:
Hallo smile

Ich hatte letzte Woche meine erste Vorlesung in diskreter Mathematik und soll nun für diese Woche ein Übungsbeispiel zu Relationen bearbeiten. Leider bin ich schon jetzt komplett überfordert und nun auf der Suche nach Hilfestellungen... Noch besteht ja Hoffnung, dass ich einfach nur einen kleinen Schubbs brauch und nicht vollkommen ungeeignet bin.

Also, das Beispiel lautet:

Gesucht sind Relationen über IN, die die folgenden Eigenschaften haben:
1. reflexiv, symmetrisch, nicht transitiv
2. reflexiv, nicht symmetrisch, transitiv
3. nicht reflexiv, symmetrisch, transitiv
4. reflexiv, nicht symmetrisch, nicht transitiv
5. nicht reflexiv, symmetrisch, nicht transitiv
6. nicht reflexiv, nicht symmetrisch, transitiv
7. nicht reflexiv, nicht symmetrisch, nicht transitiv

Meine Ideen:
Ich glaube für einige davon bereits Lösungen gefunden zu haben, bin mir nach ewigem Überdenken aber nicht mehr sicher ob das so stimmen kann/überhaupt Sinn macht. Für drei davon habe ich noch keine Lösung.

Außerdem befürchte ich, dass ich zusätzlich beweisen muss, dass die von mir gebastelten Relationen eben genau die gesuchten Eigenschaften haben, und während es mir relativ leicht fällt die nicht-Eigenschaften zu beweisen (über Gegenbeispiele) hängt es mich bei den tatsächlichen jedes Mal auf, da es mir ja komplett einleuchtend vorkommt und ich nicht weiß wie ich den Spaß begründen soll.

$\begin{eqnarray*} \textbf{1. reflexiv, symmetrisch, nicht transitiv} \end{eqnarray*}$
dazu habe ich keine Lösung... Theoretisch habe ich mir folgendes überlegt:
$\begin{eqnarray*} | x - y | < 5 \end{eqnarray*}$
aber irgendwie hab ich dabei ein... falsches Gefühl

$\begin{eqnarray*} \textbf{2. reflexiv, nicht symmetrisch, transitiv} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xRy \Leftrightarrow x \leq y \end{eqnarray*}$

reflexiv: dass x immer kleiner oder gleich x ist, ist... logisch? Dürfte aber wohl kaum als Begründung reichen unglücklich

nicht symmetrisch: x=3 y=5
transitiv: gleiches Problem wie bei Reflexivität, es kommt mir logisch vor, aber begründen kann ich's nicht

Alternativ hätte ich mir noch folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} xRy \Leftrightarrow \frac{x}{y}= a, a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

reflexiv: x/x=1, 1 el IN
nicht symmetrisch: x=2 y=1 -> 2/1=2 , 1/2=0.5 und 0,5 ist nicht in IN
transitiv: x/y=a y/z=b => x=ay y=bz => x=abz

$\begin{eqnarray*} \textbf{3. nicht reflexiv, symmetrisch, transitiv} \end{eqnarray*}$
dazu habe ich keine Lösung

4. $\begin{eqnarray*} \textbf{reflexiv, nicht symmetrisch, nicht transitiv} \end{eqnarray*}$
dazu habe ich keine Lösung

5. $\begin{eqnarray*} \textbf{ nicht reflexiv, symmetrisch, nicht transitiv} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xRy \Leftrightarrow x \neq y \end{eqnarray*}$

nicht reflexiv: x =/= x macht keinen Sinn
symmetrisch: naja... Logisch?
nicht transitiv: x=1 y=2 z=1 => x =/= y , y =/= z , x = z

$\begin{eqnarray*} \textbf{6. nicht reflexiv, nicht symmetrisch, transitiv} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xRy \Leftrightarrow x < y \end{eqnarray*}$

nicht reflexiv: x < x geht nicht
nicht symmetrisch: x = 1, y = 2
transitiv: naja, wenn x kleiner y und y kleiner z ist, dann muss x auch kleiner z sein...

$\begin{eqnarray*} \textbf{7. nicht reflexiv, nicht symmetrisch, nicht transitiv} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xRy \Leftrightarrow x+1 = y-1 \end{eqnarray*}$

nicht reflexiv: x=1: 1+1 = 1-1 ist eine falsche Aussage
nicht symmetrisch: x = 1, y = 3 -> 1+1 = 3-1 w.A. ; 3+1 = 1-1 f.A.
nicht transitiv: x = 1, y = 3, z = 5 -> 1+1 = 3-1 w.A. ; 3+1 = 5-1 w.A. ; 1+1 = 5-1 f.A.

Ich hoffe mir kann irgendwer mit meinem Problem helfen und sag schon mal $\begin{eqnarray*} \textbf{DANKE!} \end{eqnarray*}$ im Voraus!

10.10.2016, 13:05

klarsoweit

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RE: Relationen: (nicht) reflexiv, (nicht) symmetrisch, (nicht) transitiv

Zitat:

Original von sndhlp
$\begin{eqnarray*} | x - y | < 5 \end{eqnarray*}$
aber irgendwie hab ich dabei ein... falsches Gefühl

Ich habe da eher ein gutes Gefühl. Du brauchst ja nur ein Gegenbeispiel finden.

Zitat:

Original von sndhlp
reflexiv: dass x immer kleiner oder gleich x ist, ist... logisch? Dürfte aber wohl kaum als Begründung reichen unglücklich

Wieso nicht?

Zitat:

Original von sndhlp
transitiv: gleiches Problem wie bei Reflexivität, es kommt mir logisch vor, aber begründen kann ich's nicht

Das sollte auch kein Problem sein. Einfach die "kleiner-oder-gleich"-Eigenschaft ausnutzen.

Zitat:

Original von sndhlp
$\begin{eqnarray*} \textbf{6. nicht reflexiv, nicht symmetrisch, transitiv} \end{eqnarray*}$
transitiv: naja, wenn x kleiner y und y kleiner z ist, dann muss x auch kleiner z sein...

Das sollte sich aber mit der Definition der Kleiner-Beziehung auch beweisen lassen.

10.10.2016, 19:29

sndhlp

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RE: Relationen: (nicht) reflexiv, (nicht) symmetrisch, (nicht) transitiv
Huch, dann ist das ja gar keine so große Tragödie. 😄

Okay, als Gegenbsp für 1. hab ich mir überlegt x=1, y=3, z=7. Dann hab ich
|1-3|<5 w.A.
|3-7|<5 w.A.
|1-7|<5 f.A.

Dann muss ich mir ja nur noch für 3. und 4. was einfallen lassen. Danke dir!

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