Differentialgleichung fallender Körper

11.10.2016, 19:11

0815

Differentialgleichung fallender Körper

Hallo alle miteinander!

Wir behandeln in der Vorlesung seit kurzem Differentialgleichungen - und ich schaffe es mal wieder nicht, die Inhalte auf die Beispiele anzuwenden. Forum Kloppe

Ich habe als Angabe eine Differentialgleichung für einen fallenden Körper unter Einfluss von Gravitation und Reibung: $\begin{eqnarray*} mx'' + rx' = -mg \end{eqnarray*}$

Als erstes soll ich das in ein System von DGs 1. Ordnung für x(t) und v(t) := x'(t) umformen - soweit noch kein Problem, das sollten (hoffentlich)
$\begin{eqnarray*} I: x'(t) = v(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: v'(t) = -\frac{r}{m}v(t)-g \end{eqnarray*}$
sein.

Beim nächsten Punkt fangen meine Probleme an:
"Für welche $\begin{eqnarray*} v_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert ein T mit v(T) = 0?" Dieses T soll ich danach als Funktion von $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ darstellen.

Für mich sieht diese Aufgabe nach einem Anfangswertproblem aus, aber nach der Definition, die wir im Skriptum haben (Anfangsbedingung ist $\begin{eqnarray*} x(t_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ ) ist die Angabe schon die Lösung mit $\begin{eqnarray*} t_0=T, v_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ? Wie soll ich das denn dann als Funktion darstellen können, wenn es überhaupt nur einen Wert gibt? verwirrt

Falls ich bei meiner obigen Überlegung nicht einfach etwas wichtiges und dadurch Lösung-schaffendes übersehen habe, wäre meine zweite Idee gewesen, für v zu lösen, t = T zu schreiben und null zu setzen - aber für DGs dieser Art hätten wir gelernt, dass die Lösung immer die Form $\begin{eqnarray*} x(t)=ce^{-Q(t)} \end{eqnarray*}$ hat, also auch nur für c = 0 Null wird (und bei gegen unendlich, aber das kann doch hier auch nicht der Sinn der Sache sein?). Damit bin ich wieder so klug wie zuvor. unglücklich

Ich wäre ausgesprochen dankbar, wenn mir jemand Anstöße (ich fürchte, mit einem Anstoß wird es erfahrungsgemäß bei meinen Fähigkeiten nicht unbedingt reichen Hammer

) in die richtige Richtung liefern könnte. Ich würds wirklich gern verstehen, aber ich hänge hier jetzt schon stundenlang fest und finde auch keine hilfreichen Materialien...
Im Prinzip fände ich es ja nicht unlogisch, wenn die Geschwindigkeit beim Fall nur im ersten Moment (t=0) und bei einer Anfangsgeschwindigkeit von Null auch wirklich Null ist, schließlich ist es ja eine Bewegung, die auch nicht einfach mittendrin aufhört (außer es stellt sich ein Boden in den Weg Augenzwinkern

). Nur komme ich leider nicht drauf, wie ich das mit der Angabe vereinbaren soll...

11.10.2016, 22:48

thx2

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RE: Differentialgleichung fallender Körper

Zitat:

Original von 0815
"Für welche $\begin{eqnarray*} v_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert ein T mit v(T) = 0?" Dieses T soll ich danach als Funktion von $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ darstellen.

Aus der Bewegungsgleichung kann man erkennen,dass sich das Objekt nach oben bewegt (wegen -g)
v(T)=0 ist dann offenbar im höchsten Punkt erreicht
T ist also die Steigzeit
die muss man in Abhängigkeit von v0 berechnen
man braucht also was?

12.10.2016, 09:21

0815

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Zuerst T, dann $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ ? Oder umgekehrt?
Wie gesagt, ich verstehe hier einfach auch nicht, worauf die Angabe hinaus will, ich komme an dem Brett "es sieht aus wie ein AWP, aber so kann ich hier doch nicht rechnen?" vor meinem Kopf nicht vorbei.
Heißt das jetzt, ich suche doch die Lösung für v und löse dann nach t auf? Stimmt mein Rechenansatz aus meinem letzten Post dann? verwirrt

12.10.2016, 11:39

Sherlock Holmes

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Hi,

wie ist denn genau die Fragestellung? Wenn du diese Differentialgleichung einfach lösen musst, dann würde ich Trennung der Variablen bevorzugen. Dabei nimmst du (wie du richtig geschrieben hast) $\begin{eqnarray*} \dot{x(t)}=v (t) \end{eqnarray*}$ und stellst dementsprechend um. Damit du weißt was ich genau meine, schreibe ich dir diesen Schritt mal auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd t}= -g-\frac{\beta}{m}\cdot v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{g+\frac{\beta}{m}\cdot v}=-dt<br /> \end{eqnarray*}$
Weißt du wie man nun vorangeht? Die Integration beinhaltet dann deine Anfangsbedingungen.

Viele Grüße

Sherlock

12.10.2016, 14:25

0815

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Danke für die Antwort!
Die Fragestellung ist eben genau "Für welche $\begin{eqnarray*} v_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert ein T mit v(T) = 0?", danach "Geben Sie T als Funktion von $\begin{eqnarray*} v_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ an."
Davor habe ich nur die DGL und die Anweisung, in ein System von DGLs 1. Ordnung umzuformen, also das, was ich in meinem ersten Post geschrieben habe.

Danke für die Hilfe mit der Lösung, die Variablentrennung hatten wir noch nicht durchbesprochen, weswegen ich nicht auf die Idee gekommen bin, sie zu verwenden. Hammer

Wenn mich nicht alles täuscht, sollte man bei deiner letzten Zeile nur noch links nach v und rechts nach t integrieren müssen? Also $\begin{eqnarray*} \frac{m}{r}\ln\left(g+\frac{r}{m}v\right)=-t+C \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich das dann umforme, käme ich auf $\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{m}{r}\left(e^{\frac{r}{m}(C-t)}-g\right) \end{eqnarray*}$ , und wenn ich da v(T) = 0 setze dementsprechend $\begin{eqnarray*} \frac{m}{r}\left(e^{\frac{r}{m}(C-T)}-g\right)=0 \end{eqnarray*}$ , also weiter $\begin{eqnarray*} e^{\frac{r}{m}(C-T)}=g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{m}{r}\ln g = C-T \end{eqnarray*}$
Nur sind mir jetzt sowohl C als auch T unbekannt, weil ich keine "richtige" Anfangsbedingung habe (ich glaube nicht, dass ich T als bekannt voraussetzen kann). verwirrt

Wenn ich sage $\begin{eqnarray*} C = v_0 \end{eqnarray*}$ hätte ich dann zwar den dritten Punkt, T als Funktion von $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ anzugeben: $\begin{eqnarray*} T(v_0)=v_0-\frac{m}{r}\ln g \end{eqnarray*}$ , nur auf $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ selbst komme ich nicht... unglücklich

Aber schon einmal vielen Dank für die bisherigen Tipps, ein paar Lichter sind mir schon aufgegangen!

12.10.2016, 17:47

thx2

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Zitat:

Original von 0815
Also $\begin{eqnarray*} \frac{m}{r}\ln\left(g+\frac{r}{m}v\right)=-t+C \end{eqnarray*}$ ?

bevor jetzt weitergerechnet wird sollte man C bestimmen für t=0 ist v=v0

alternativ könnte man gleich die Grenzen nehmen
$\begin{eqnarray*} \int_{v_{0}}^{v}... \, dv =\int_{0}^{t}... \, dt \end{eqnarray*}$

oder speziell bei der Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \int_{v_{0}}^{0}... \, dv =\int_{0}^{T}... \, dt \end{eqnarray*}$
das macht aber nur Sinn wenn es keine weiteren Fragen gibt bei denen man
dann doch v(t) braucht

Zitat:

Original von 0815
$\begin{eqnarray*} T(v_0)=v_0-\frac{m}{r}\ln g \end{eqnarray*}$

was soll das sein?
die Einheiten passen nicht zusammen
und der Logrithmus ist eine Zahl da darf keine Einheit mehr vorkommen

12.10.2016, 20:05

0815

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Ach so bekomme ich $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ ... Hammer

Vielen Dank!
Klar, bei einem "physikalischen" Problem ist der Anfangswert wirklich ein Anfangswert...

D.h. mein AWP ist eigentlich $\begin{eqnarray*} v(t_0=0) = v_0 \end{eqnarray*}$ , damit rechne ich mir $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ aus und damit gehe ich dann an v(T) = 0 heran?

C bestimmen für AWP: C müsste bei t = 0 einfach $\begin{eqnarray*} C = \frac{m}{r}\ln\left(g+\frac{r}{m}v_0\right) \end{eqnarray*}$ sein?
Dann wäre mein $\begin{eqnarray*} v(t) = \left(\frac{mg}{r}+v_0\right)e^{-\frac{r}{m}t}-\frac{mg}{r} \end{eqnarray*}$ ?
Umgeformt auf T in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ sollte das dann $\begin{eqnarray*} T(v_0) = \frac{m}{r}\ln\left(1+\frac{r}{mg}v_0\right) \end{eqnarray*}$ sein?
Die vorige T-Funktion ist damit natürlich Unsinn, weil C bzw. $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ schon falsch waren.

Nur erschließt es sich mir leider immer noch nicht, wie ich (alle) $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ für v(T) = 0 finde. Forum Kloppe

Aus der T-Funktion hätte ich wegen des Logarithmus $\begin{eqnarray*} v_0 > -\frac{mg}{r} \end{eqnarray*}$ gesagt und bei $\begin{eqnarray*} v_0 = 0 \end{eqnarray*}$ und T=0 ist v(T)=0, aber eigentlich müsste man es schon vorher (und damit anders) lösen können? Zumindest suggeriert das die Struktur der Angabe... verwirrt

12.10.2016, 20:37

thx2

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Zitat:

Original von 0815
$\begin{eqnarray*} T(v_0) = \frac{m}{r}\ln\left(1+\frac{r}{mg}v_0\right) \end{eqnarray*}$

Das stimmt

Zitat:

Original von 0815
Aus der T-Funktion hätte ich wegen des Logarithmus $\begin{eqnarray*} v_0 > -\frac{mg}{r} \end{eqnarray*}$ gesagt

Hier muss man aufpassen denn v0 kann dann auch negativ werden

Aus der Aufgabebstellung geht aber hervor,dass es ein Wurf nach oben in die positive Richtung ist
also kann v0 keinen negativen Wert annehmen

13.10.2016, 09:36

0815

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Ok, danke!

Hm, auf welche Art kann ich mir $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ denn sonst bestimmen? Direkt aus v(t) wüsste ich nicht wie, ohne dass ich es mir auf $\begin{eqnarray*} T(v_0) \end{eqnarray*}$ umforme, und dort wüsste ich keine andere Bedingung als die vorhin... verwirrt

Ich hätte es nicht so unlogisch gefunden, wenn die Anfangsgeschwindigkeit von der Richtung dem Wurf entgegengesetzt wäre, wenn die Geschweindigkeit Null werden soll... aber wenn das so nicht stimmt, wäre ich dankbar für einen Tipp, wie es richtig geht. unglücklich

13.10.2016, 09:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von 0815
Hm, auf welche Art kann ich mir $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ denn sonst bestimmen?

Mir ist nicht ganz klar, was du jetzt noch hier groß rumgrübelst??? Es geht doch um folgende Problemstellung

Zitat:

Beide Fragen sind doch nun bereits geklärt:

1) Für $\begin{align*} v_0>0 \end{align*}$ , d.h. Wurf nach oben.

2) Die Darstellung von $\begin{align*} T \end{align*}$ als Funktion von $\begin{align*} v_0 \end{align*}$ ist $\begin{align*} T(v_0) = \frac{m}{r}\ln\left(1+\frac{r}{mg}v_0\right) \end{align*}$ für eben jene $\begin{align*} v_0>0 \end{align*}$ .

Wo siehst du jetzt noch ein Problem? Irgendwelche $\begin{align*} v_0<0 \end{align*}$ in 2) zu betrachten ist Unsinn, das ergibt entweder nichtreelle Terme oder aber $\begin{align*} T(v_0)<0 \end{align*}$ , also VOR Wurfbeginn ... inhaltlich absurd.

13.10.2016, 15:26

0815

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Mein "Problem" war, dass ich die von dir beschriebene Lösung nicht selbst gefunden habe und daher nicht wusste, was ich anstatt meines falschen Ansatzes tun sollte. Forum Kloppe

Und ich möchte wirklich nicht undankbar oder unfreundlich klingen, aber wenn mir das alles so klar gewesen wäre wie dir und den anderen Helfern, hätte ich nicht nochmals nachgefragt. Ich frage nicht absichtlich blöd, weil ich Leute damit ärgern möchte, sondern weil ich es wirklich nicht verstanden habe oder zwar den Hinweis verstanden habe, aber ihn nicht/nur falsch anwenden konnte.
Ich möchte auch nicht implizieren, dass irgendetwas dieser Art von dir oder jemand anderen gemeint war, ich wollte es nur sicherheitshalber klarstellen.

Jedenfalls nochmals danke für die Hilfe, ich glaube/hoffe Augenzwinkern

, ich verstehe das Beispiel jetzt soweit.

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