Differentialgleichung mit Wurzel

12.10.2016, 05:55

nati0212

Differentialgleichung mit Wurzel

Hallo!

Ich tu mir momentan ein "wenig" schwer beim Lösen einer DGL und hatte gehofft, jemand kennt sich damit aus. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Consider the separable differential equation

$\begin{eqnarray*} x'(t)=b \cdot \sqrt{a^{2}-x(t)^{2}} \end{eqnarray*}$

with the initial condition $\begin{eqnarray*} x(t_0)=a \end{eqnarray*}$

a) Show that there is a trivial time-independent solution of the differential equation.
b) Find a non-trivial solution by the method of seperation of variables.
c) Discuss what goes wrong with the theoreom on the uniqueness of the solution of differential equations.

Nun, dank meinen ach-so-tollen Englischkenntnissen (speziell im Bezug auf Mathematik) bin ich mir nicht sicher, ob ich die Fragen richtig verstanden hab.. Aber ich würds so machen:

a) trivial wäre in meinen Augen wenn b=0 wäre.

b) Nun, ich hab zwar versucht die Gleichung zu lösen, allerdings komme ich dabei immer auf

$\begin{eqnarray*} x(t)=a\cdot \text{sin}(bt+C) \end{eqnarray*}$

wobei C die Integrationskonstante ist. Berechnet hab ichs über die Seperation der Variablen (wies auch verlangt wird). Ich hab $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ aus der Wurzel herausgehoben, Substituiert mit u=x/a und kam letztendlich auf obiges Ergebnis.

Laut Wolframalpha soll

$\begin{eqnarray*} x(t)=\pm \frac{a \cdot \text{tan}(bt + C)}{\sqrt{\text{tan}^2(bt+C)+1}} \end{eqnarray*}$

herauskommen. Ich hab ehrlich gesagt nicht die geringste Ahnung wie man hier vorgehen muss um überhaupt auf Tangens zu kommen...

Außerdem: Sind hier 2 Lösungen (+ und -) möglich, weil x(t) zum Quadrat in der DGL steht?

c) Hier verstehe ich die Frage nicht ganz. Es gibt mehrere Lösung weil der Sinus bzw. Tangens eine periodisch verlaufende Funktion ist?

Speziell bei Aufgabe b) hänge ich nun seit Stunden. Die englische Angabe hilft dabei auch kein bisschen. Ich bin kurz davor zu verzweifeln. Hat vielleicht jemand von euch eine Ahnung, wie das funktioniert?

Liebe Grüße und vielen Dank fürs Lesen!

12.10.2016, 08:48

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung mit Wurzel

Zitat:

Original von nati0212
a) trivial wäre in meinen Augen wenn b=0 wäre.

Das wäre in der Tat schon sehr trivial. Wenn du den Text der Aufgabe a liest, geht es um eine zeitunabhängige Lösung, also x(t) ist dann eine Konstante. Überlege dir, welche Konstante das sein könnte.

Zitat:

Original von nati0212
Laut Wolframalpha soll

$\begin{eqnarray*} x(t)=\pm \frac{a \cdot \text{tan}(bt + C)}{\sqrt{\text{tan}^2(bt+C)+1}} \end{eqnarray*}$

herauskommen. Ich hab ehrlich gesagt nicht die geringste Ahnung wie man hier vorgehen muss um überhaupt auf Tangens zu kommen...

Nun ja, es ist $\begin{eqnarray*} \frac{tan(x)}{\sqrt{tan^2(x) + 1}} = \frac{sin(x)}{cos(x) \cdot \sqrt{tan^2(x) + 1}} = \frac{sin(x)}{\sqrt{sin^2(x) + cos^2(x)}} = sin(x) \end{eqnarray*}$ für cos(x) > 0 .

12.10.2016, 09:24

Ehos

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@nati0212

Du schreibst <Zitat>:
"Ich hab ehrlich gesagt nicht die geringste Ahnung wie man hier vorgehen muss um überhaupt auf Tangens zu kommen..."

Deine Lösung $\begin{eqnarray*} x(t)=a \cdot \sin(bt+C) \end{eqnarray*}$ ist im Prinzip das Gleiche wie die Lösung von WOLFRAMALPHA. Begründung: Aus der Schule kennst du die beiden Formeln

$\begin{eqnarray*} \tan(\phi)=\tfrac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin^2(\phi)+\cos^2(\phi)=1 \end{eqnarray*}$

Wenn du die 2.Formel nach Kosinus umstellst und in die 1.Formel einsetzt, kommst du im nach Umstellen nach sin(...) auf die Lösung von WOLFRAMALPHA.

12.10.2016, 12:28

nati0212

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Hallo!

Erstmal vielen Dank für eure schnelle Antwort!

zu b)

DANKE! Ich wäre nie auf die Idee gekommen, dass ich "einfach nur" umformen muss!

Das heißt ich kann den Anfangswert einsetzen und es gilt:

(Fallunterscheidung wegen den zwei möglichen Vorzeichen)

1)
$\begin{eqnarray*} x(t)=a\cdot \text{sin}(bt+C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(0) = a = a \cdot \text{sin}(b\cdot 0 + C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = \text{sin}(C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C = \frac{\pi}{2}+2n\pi \end{eqnarray*}$

wobei n eine natürliche Zahl ist.

2)
$\begin{eqnarray*} x(t) = -a\cdot \text{sin}(bt+C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(0) = a = -a \cdot \text{sin}(b\cdot 0 + C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 = \text{sin}(C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C = \frac{3\pi}{2}+ 2n\pi \end{eqnarray*}$

zu a)

Ich versuchs nochmal:
Wenn ich es nun richtig verstanden hab geht es darum, dass x(t) zeitunabhängig ist. Zeitunabhängig wiederum würde bedeuten, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=0 \end{eqnarray*}$

gelten muss. Also:

$\begin{eqnarray*} 0=b \cdot \sqrt{a^2-x^2} \end{eqnarray*}$

Und das gilt gerade dann, wenn entweder b=0 oder

$\begin{eqnarray*} x^2=a^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ gilt.

zu c) fällt mir nur ein, dass die Lösung nicht Einzigartig sein kann wenn x(t)^2 in der DGL steht..

Vielen Dank nochmal für eure Hilfe!

12.10.2016, 13:24

klarsoweit

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Zu deinen "beiden" Lösungen. Es ist $\begin{eqnarray*} -a \cdot \sin(bt+\frac{3\pi}{2}+ 2n\pi) = -a \cdot \sin(bt+\frac{\pi}{2}+ 2n\pi + \pi) = a \cdot \sin(bt+\frac{\pi}{2}+ 2n\pi) \end{eqnarray*}$ . Insofern sind die Lösungen identisch. Nebenbei kann das n auch ganzzahlig sein.

Zitat:

Original von nati0212
zu c) fällt mir nur ein, dass die Lösung nicht Einzigartig sein kann wenn x(t)^2 in der DGL steht..

Hm. Ich würde mir eher mal den Satz von Picard-Lindelöf ansehen.

12.10.2016, 14:42

nati0212

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Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast um mir zu helfen smile

Es geht also darum, dass ich nachsehe ob diese Funktion Lipschitzstetig ist, richtig? Wenn die Funktion nicht Lipschitzstetig ist heißt das, dass es keine eindeutige Lösung gibt.

$\begin{eqnarray*} |f(x_1)-f(x_2)| \leq L \cdot |x_1 - x_2| \end{eqnarray*}$

Okay, ab hier könnte es unglaublich peinlich für mich werden unglücklich

Ich bin mir nicht sicher was f in diesem Fall sein sollte. Ich denke aber es sollte so funktionieren:

$\begin{eqnarray*} | b\sqrt{a^2-x_1^2}-b\sqrt{a^2-x_2^2} | \leq L \cdot |x_1 - x_2| \end{eqnarray*}$

Da diese Gleichung für alle x_1, x_2 gelten muss, darf ich mir dafür beliebige Werte aussuchen. Ich nehme an mit x_1=0 gehts am einfachsten?

$\begin{eqnarray*} |b|\cdot | a-\sqrt{a^2-x_2^2} | \leq L \cdot |- x_2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{|b|\cdot | a-\sqrt{a^2-x_2^2} |}{|x_2|} \leq L \end{eqnarray*}$

.. so, ich zweifle zwar stark daran, dass das bis hier hin stimmt.. Aber mein nächster Gedanke wäre mir für x_2 auch Werte auszusuchen. Durch den Bruch würde ich jetzt spontan sagen dass x_2 gegen 0 Probleme verursacht. Dann hab ich allerdings eine Fallunterscheidung (Wurzel) und in einem Fall kommt 0/0 heraus..

Im anderen Fall wäre es

$\begin{eqnarray*} \frac{|b|\cdot |2a|}{"0"}\leq L \end{eqnarray*}$

Das wiederrum würde bedeuten L müsste unendlich sein, was nicht als Lipschitzstetig betrachtet wird.

So in etwa? :x

12.10.2016, 15:22

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Zitat:

Original von nati0212
Wenn die Funktion nicht Lipschitzstetig ist heißt das, dass es keine eindeutige Lösung gibt.

Das würde ich jetzt nicht sagen. Es ist dann lediglich nicht gesichert, daß es eine eindeutige Lösung gibt. Es geht ja eben um diese Frage:

Zitat:

Original von nati0212
c) Discuss what goes wrong with the theoreom on the uniqueness of the solution of differential equations.

Was deine Rechnung angeht liegt das Problem in dem Fall, daß x_1 = a ist. Stelle dafür die Ungleichung nach L um.

12.10.2016, 16:02

nati0212

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Also

$\begin{eqnarray*} \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|} \leq L \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{|b\sqrt{a^2-x_2^2}|}{|a-x_2|}\leq L \end{eqnarray*}$

Das Einzige was ich hier erkennen kann ist:
Wenn x_2 nun ebenfalls gegen a geht bin ich wieder bei 0/0.

13.10.2016, 09:33

klarsoweit

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Zu dem Verhalten des Bruchs solltest du schon noch etwas mehr sagen können. Denke auch an die 3. binomische Form im Zähler.

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