Integration durch Substitution

12.10.2016, 18:44	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution Hallo leute, ich habe hier ein Beispiel bei dem ich nicht weiterkomme, ich bitte euch um Hilfe. Das Beispiel lautet: $\begin{eqnarray} <br /> \int\! \frac{2}{\sqrt{3x + 2}}dx <br /> \end{eqnarray}$ Als erstes Substituiere ich: $\begin{eqnarray} <br /> \int\! \frac{2}{\sqrt{u}}dx <br /> \end{eqnarray}$ u = 3x + 2 -> erste ableitung u' = 3 => $\begin{eqnarray} <br /> 3 = \frac{du}{dx}<br /> \end{eqnarray}$ Dann geht es folgendermaßen weiter: $\begin{eqnarray} <br /> \int\! \frac{2}{\sqrt{3x + 2}}dx =><br /> <br /> \int\! \frac{2}{\sqrt{u}} \frac{du}{3} =><br /> <br /> \frac{2}{3}* \int\! \frac{du}{\sqrt{u}} =><br /> <br /> \frac{2}{3}\int\! u^{-\frac{1}{2}}du =><br /> \end{eqnarray}$ Ab hier komme ich nicht mehr weiter: Laut meinem Buch geht es so weiter: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{2}{3}\frac{2}{1}u^{\frac{1}{2}}+C<br /> \end{eqnarray}$ Die: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{2}{3}<br /> \end{eqnarray}$ habe ich ja weiter oben vor das Integral geschoben, da es sich hierbei um einen konstanten Faktor handelt. Nur worher kommt das: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{2}{1}<br /> \end{eqnarray}$ ?? "u^-1/2" wird ja aufgeleitet, und zwar so: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{x^{n + 1}}{n + 1} <br /> \end{eqnarray}$ dadurch verschwindet das minus bei "u^-1/2", weil ja -1/2 + 1 = 1/2 ist. Nur woher kommt das: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{2}{1}<br /> \end{eqnarray*}$ vor dem u?? MfG und Danke.
12.10.2016, 19:23	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, das ist das hoch 1/2 vond er Intergration von $\begin{eqnarray} u^{1/2} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{1}{2}} =2 \end{eqnarray}$
13.10.2016, 07:11	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
O.K., aber warum: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{\frac{1}{2}} <br /> \end{eqnarray}$ es müsste dann doch einfach nur: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{2}<br /> \end{eqnarray}$ sein? Über dem "u" steht ja 1/2 und nicht: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{\frac{1}{2}} <br /> \end{eqnarray}$ ? MfG
13.10.2016, 07:36	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
1/2 wäre Ableitung. Du integrierst aber. Da ist es anders rum: $\begin{eqnarray} u^2 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} u^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u^{-1/2} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} -\frac{1}{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$
13.10.2016, 18:52	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, gedanken fehler. Das heißt ich wende die Potenzregel an: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{x^{n+1} }{n+1}<br /> \end{eqnarray}$ Das heißt aus: $\begin{eqnarray} <br /> u^{-\frac{1}{2}}du <br /> \end{eqnarray}$ wird: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{\frac{1}{2}}u^{\frac{1}{2}} <br /> \end{eqnarray}$ 1 ist das selbe wie: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{1}<br /> \end{eqnarray}$ Das heißt: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{2}} <br /> \end{eqnarray}$ Nun rechne ich außenglied * außenglied und innenglied * innenglied. Nun habe ich folgendes ergebnis: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{2u^{\frac{1}{2}}}{1} <br /> \end{eqnarray}$ So sollte es passen, oder? MfG
13.10.2016, 18:59	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so stimmt es. Du kannst dir auch merken: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert mal nimmt.
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25.10.2016, 08:41	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, das du da einen kleinen fehler gemacht hast? Bei Dir lautet es: $\begin{eqnarray} u^{-1/2} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} -\frac{1}{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Das sollte doch nach der aufleitung so aussehen: $\begin{eqnarray} u^{-1/2} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Das Minus gehört dort nicht hin, oder? MfG
25.10.2016, 09:28	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da hast du recht.

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