Homöomorphismus gesucht

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12.10.2016, 23:11	Top16	Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphismus gesucht Hallo miteinander Folgende Aufgabe sei gegeben: Seien p und q reelle Zahlen und p != q. Gib einen Homöomorphismus h: R -> R an, so dass h(p) = q und er die Identitätsabbildung ausser einer beschränkten Menge ist, die p und q enthält. Ehm..ich muss gestehen, dass ich die Aufgabe nicht so ganz verstehe (auch sprachlich nicht...). Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen? Danke!
13.10.2016, 10:47	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du sollst eine Selbstabbildung von R angeben, die bijektiv und stetig ist und eine stetige Umkehrfunktion hat. Zusätzlich soll diese Abbildung aber fast jede reellle Zahl auf sich selbst abbilden. Nur innerhalb einer beschränkten Teilmenge, die du selbst bestimmen darfst, darf etwas anderes passieren. Das schließt beispielsweise die Abbildung $\begin{eqnarray} x\mapsto x+q-p \end{eqnarray}$ aus, die jede reelle Zahl verschiebt und somit "zu wenig" Fixpunkte hat. Außerdem soll sie p auf q abbilden. Ist die Aufgabenstellung klar geworden?
13.10.2016, 14:30	Top16	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Guppi12 Danke für den Erklärungsversuch. Die Aufgabe ist etwas klarer geworden, bin aber ehrlichgesagt immer noch nicht 100% sicher. Wäre also $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{e^x}{3x} \end{eqnarray}$ eine solche Abbildung? Und sagt diese Aufgabe aus? (Also gibt es irgend ein Ziel, auf welches die Aufgabe hindeuten könnte?)
13.10.2016, 14:50	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht ganz sicher, was du mit dieser Abbildung sagen möchtest. Die kann erstens so nicht auf ganz R definiert werden wegen der 0 und zweitens bildet diese Abbildung so gut wie nichts auf sich selbst ab!?
13.10.2016, 15:02	Top16	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich habe mich verlesen, sorry! Bezüglich der "beschränkten Teilmenge" bin ich etwas unsicher, aber wären folgendes Beispiele einer solchen Abbildung? : $\begin{eqnarray} x \mapsto x + 2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \mapsto sin(x) \end{eqnarray}$
13.10.2016, 15:23	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Sinus ist weder injektiv noch surjektiv. Welche Teilmenge der reellen Zahlen wird von $\begin{eqnarray} x\mapsto x+2 \end{eqnarray}$ auf sich selbst abgebildet?
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13.10.2016, 15:34	Top16	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ich habs. Ein Beispiel wäre: $\begin{eqnarray} x \mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ In diesem Beispiel würde die 1 und die -1 auf sich selbst abgebildet werden.
13.10.2016, 16:08	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist hier mit der 0? Diese Abbildung hält ansonsten wirklich die 1 und -1 fest, aber dann ist doch die Menge, die nicht auf sich selbst abgebildet wird nicht beschränkt Bitte konzentriere dich etwas mehr.
13.10.2016, 22:32	Top16	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich frage mich seit einer Stunde, wie eine solche Abbildung ausschauen könnte. Wenn wir bspw. x --> x^2 haben, so haben wir zwar das Problem mit der 0 umgangen, -1 und +1 werden auf 1 abgebildet, aber auch hier: Die Menge, die nicht auf sich selbst abgebildet wird, ist unbeschränkt. Ich bin nicht sicher, ob ich einfach viel zu weit überlege und die Abbildung nicht sehe, oder einfach noch zu wenig geknobelt habe. :/ Hättest du noch einen Tipp?
13.10.2016, 23:01	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde an die Sache grafisch herangehen. Außerhalb einer beschränkten Menge muss der Graph aussehen, wie die Identitätsfunktion, du kannst also schonmal die erste Winkelhalbierende einzeichnen und bloß einen kleinen Teil um p,q herum weglassen. Dann überlegst du, wie du den Graph vervollständigen kannst, sodass der Punkt (p,q) in der Ebene darauf liegt und der Graph eine bijektive stetige Funktion beschreibt.
14.10.2016, 14:35	Top16	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich steh' völlig auf dem Schlauch. Aber machen wir's step by step: 1.) "Außerhalb einer beschränkten Menge muss der Graph aussehen.." Sei also das Intervall [-1, 1] um den Nullpunkt die besagte Menge. 2.) "aussehen, wie die Identitätsfunktion" D.h. x --> x, falls \|x\| > 1 3.) "Dann überlegst du, wie du den Graph vervollständigen kannst, sodass der Punkt (p,q) in der Ebene darauf liegt und der Graph eine bijektive stetige Funktion beschreibt." D.h. x --> 1, andernfalls. => Beim letzten Punkt bin ich nicht ganz sicher, ob das wirklich korrekt ist so...

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