Wieso Kronecker-Delta in Dualbasis Definition

13.10.2016, 19:25	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso Kronecker-Delta in Dualbasis Definition Hallo, Gegeben sei ein Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Nun gilt doch: $\begin{eqnarray} V^:=\{f \| f:V\to K \ \text{und} \ f \ \text{linear}\} \end{eqnarray}$ Also die Menge aller linearen Abbldungen die von V nach K gehen. Also wirklich alle Abbildungen. Dieser Raum ist wieder ein Vektorraum und hat somit eine Basis. Für diese Basis gilt: $\begin{eqnarray} e^_j(e_i)=\sum_{k=1}^n b_{j,k}a_{k,i}=\delta_{i,j} \end{eqnarray}$ [ https://de.wikipedia.org/wiki/Duale_Basis ] Nun, ich kann das Berechnen. Zum Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} e_1=(1, 2) \ , \ e_2=(0,1) \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} e_1^=(a,b) \ , \ e_2^=(c,d) \end{eqnarray}$ die gesuchte duale Basis. Wir verwenden die Definition von oben: $\begin{eqnarray} e_1^(e_1) = 1 = a + 2b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_1^(e_2) = 0 = b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^_2(e_1) = 0 = c + 2d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^_2(e_2) = 1 = d \end{eqnarray}$ also ist: $\begin{eqnarray} e_1^ = (0,1), \ e_2^=(1,-2) \end{eqnarray}$ Oder man invertiert die Abbildungsmatrix und kriegt dassselbe. Aber ich verteh nich was das soll. Ich seh einfach nicht woher diese Definition kommt. Aber das liegt wohl daran, dass ich das ganze Konzept nicht verstehe. Kann mir jemand mal mittels den eben berechneten dualen Vektoren ein Element des Dual Raums darstellen? Ganz simple? [Ich seh halt nicht wie ich mit den 2 Vektoren eine Abbildung darstellen soll. Es sind ja Vektoren. Keine Abbildungen.] edit: hmm ich werd müde was - das hätte in den Algebra Bereich sollen Edit: Also um meine Frage ein wenig zu präzisiere. Für den Dualraum oben sei folgendes: $\begin{eqnarray} f: V \to K, v \to ??? \end{eqnarray}$ Was schreib ich bei den ??? hin? Ich denke, wenn ich das begreife wird auch das kroenecker Delta klar.
14.10.2016, 11:16	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Erklärung des Begriffes "duale Basis" benötigt man den Begriff "Linearform". Eine Linearform ist eine lineare Abbildung, die jedem Vektor $\begin{eqnarray} \Vec X \end{eqnarray}$ eine Zahl zuordnet. ------------------------------------------------------------------ Beispiel: Bekanntlich gilt in der Physik "Arbeit = Kraft mal Weg". In diesem Sinne ordnet ein fester Kraftvektor $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ jedem beliebigen Wegvektor $\begin{eqnarray} \vec X \end{eqnarray}$ durch das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} W=\vec F\cdot \vec X \end{eqnarray}$ eine Zahl W zu (=Arbeit). Der feste Kraftvektor $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ ist also die Linearform und die variablen Wegvektoren $\begin{eqnarray} \vec X_1, \vec X_2,... \end{eqnarray}$ sind deren Argumente. ------------------------------------------------------------------ Angenommen wir stellen den Wegvektor $\begin{eqnarray} \vec X \end{eqnarray}$ und den Kraftvektor $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ bezüglich irgendwelcher Basen dar, also $\begin{eqnarray} \vec X=B\vec x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec F=B^\vec f^* \end{eqnarray}$ . Die Spalten der Matrizen $\begin{eqnarray} B, B^* \end{eqnarray}$ sind dabei jeweils die Basisvektoren und $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec f^* \end{eqnarray}$ sind die Koordinatenvektoren. Wenn man im Weg-Raum die Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ vorgegeben hat, dann lautet die Frage: Welche Basis $\begin{eqnarray} B^* \end{eqnarray}$ muss man für den Kraftvektor verwenden, damit wieder dieselbe Arbeit herauskommt? Es soll also gelten $\begin{eqnarray} W=\underbrace{B^\vec f^}_{\vec F}\cdot \underbrace{B\vec x}_{\vec X}=\vec f^\cdot \vec x \end{eqnarray}$ Offenbar muss die gesuchte Basis lauten $\begin{eqnarray} B^=B^{T-1} \end{eqnarray}$ , denn gerade dann ergibt das Einsetzen in die letzte Formel das gewünschte Ergebnis $\begin{eqnarray} W=\underbrace{B^{T-1}\vec f^}_{\vec F}\cdot \underbrace{B\vec x}_{\vec X}=\vec f^\cdot \underbrace{B^{-1}B}_{E}\vec x=\vec f^\cdot \vec x \end{eqnarray}$ Die Basis $\begin{eqnarray} B^=B^{T-1} \end{eqnarray}$ bezeichnet man als die duale Basis zur Basis B. Gerade für diese Basis gilt nämlich $\begin{eqnarray} (B^)^TB=E \end{eqnarray}$ (=Einheitsmatrix), so dass man die Arbeit immer als simplex Skalarprodukt $\begin{eqnarray} W=\vec f^\cdot \vec x \end{eqnarray}$ der Koordinaten darstellen kann. Das ist der Witz der Sache! ------------------------------------ Dein Beispiel hast du völlig richtig berechnet!!! Gegeben sind die 2 Basisvektoren $\begin{eqnarray} \vec b_1=(b_{11}\|b_{12})=(1\|2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b_2=(b_{21}\|b_{22}=(0\|1) \end{eqnarray}$ . In Matrixschreibweise heißt das $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die duale Basis ist als die transponierte Inverse, also $\begin{eqnarray} B^=B^{T-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die duale Basisvektoren sind also die Spalten $\begin{eqnarray} \vec b_1^=(b_{11}\|b_{12})^=(1\|0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b_2^=(b_{21}\|b_{22})^=(-2\|1)) \end{eqnarray}$
14.10.2016, 12:47	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Dieser Beitrag hat sich mit dem oben überkreuzt. Also ich habe glaube einiges meiner Verwirrung gelöst. Jedoch sitzt es immer noch nicht wirklich. Daher mal ein sehr simples Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ einK- Vektorraum mit der Basis $\begin{eqnarray} B=(e_1, e_2) = ( (1,0) , (0,1) ) \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} V^ \end{eqnarray}$ der Dualraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit der dualen Basis $\begin{eqnarray} B^=(e^1, e^2) \end{eqnarray}$ Wir wollen nun die duale Basis berechnen, Dazu jedoch erst etwas Theorie herleiten. Für unseren Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} v=( a, b ) = a\cdot e_1 + b\cdot e_2 \quad \forall v\in V, \ a,b\in K \end{eqnarray}$ Da nun auch $\begin{eqnarray} V^ \end{eqnarray}$ ein Vektorraum ist, gilt dies auch dort. Also: $\begin{eqnarray} v^=( s, t ) = s\cdot e^1 + t\cdot e^2 \quad \forall v^\in V^, \ s,t\in K \end{eqnarray}$ Da unsere Basisvektoren lineare Abbildungen sind, ist unser $\begin{eqnarray} v^ \end{eqnarray}$ auch wieder eine Abbildung. Doch was bildet den diese Abbildung ab? Ich würde sagen, die bildet den ganzen V ab. Das überlegt man sich anhand der Definitio ndes Dualraumes, also: $\begin{eqnarray} v^* \in V^* = Hom(V,K) = \{ f \| f: V\to K \ \text{und f linear}\} \end{eqnarray}$ Unsere $\begin{eqnarray} e^1, e^2 \end{eqnarray}$ sind also sozusagen "Basisabbildungen" aus denen wir alle möglichen abbildungen die es in unserem Vektorraum V gibt, erstellen können. Frage: Ich möchte gerne den nutzen vom Kroenecker Delta motivieren aber ich scheitere daran. Ich versuchs mal anhand eines 2d Beispieles: Wähle $\begin{eqnarray} \phi \in V^3 und v(v_1,v_2) \in V \end{eqnarray}$ Nun gilt: $\begin{eqnarray} v=v_1e_1 + v_2 e_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi(v)=e^1(v) + e^2(v) \end{eqnarray}$ [Gleiche Dimension von Dualraum und vektorraum] Nun: $\begin{eqnarray} \phi(v)=a e^1(v) + be^2(v) = ae^1(v_1e_1) + be^2(v_1e_1+v_2e_2)=av_1e^1(e_1) + av_2e^1(e_2) + bv_1 e^2(e_1) + bv_2 e^2(e_2) \end{eqnarray}$ Nun ist "ersichtlich" [ja, genau an dem hapert es :P], dass wir hier 2 terme zuviel haben, da wir ja nur zwei dimensionen möchte. Wir setzten also einfach: $\begin{eqnarray} e^i(e_j)=\delta_{i,j} \end{eqnarray}$ Um nun eine Dualbasis zu bestimmen, können wir ja einfach die Basisvektoren von V mittels den beiden "gefundenen" Basisabbildungen (ich sag extra abbildungen, es sind auch vektoren) abbilden. Also: $\begin{eqnarray} e^1(e_1)=e^1(1,0)=1ae^1 + 0be^2=1 \ \Rightarrow \ a=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^1(e_2)=e^1(0,1)=0ae^1 + 1be^2=0 \ \Rightarrow \ b=1 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} e^1(v)=(1,0) \ \forall v\in V \end{eqnarray*}$ Würde gerne einige Kommentare dazu lesen
14.10.2016, 12:56	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dir doch die Motivation der dualen Basis an einem Beispiel anschaulich erklärt. Bis Montag.
14.10.2016, 13:58	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Beiträge haben sich überkreuzt. zu deinem Beispiel. Das macht "Sinn". Auch die Berechnung ist mir klar. Aber das alles basiert auf der Grundlage, dass gilt $\begin{eqnarray} e_j^(e_j=\delta_{i,j} \end{eqnarray*}$ und daran scheitert es irgendwie. Klar ich kann mir was vorstellen darunter, kanns berechnen, verstehe es einigermassen aber ich kanns nicht einem erklären der erst 1 semesterstudiert hat und das noch nie gehört hat - und das ist so das Ziel. :P Bin einfach noch nicht zu frieden mit mir.

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