Gruppenisomorphismus S2 und Z/2Z

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LoCo1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenisomorphismus S2 und Z/2Z
Meine Frage:
[attach]42748[/attach]


Also das ist die Definitions eines Gruppenhormomophismus bzw. Isomorphismus.

Und hier das Beispiel, welches ich gerne erläutert bekommen würde.

[attach]42750[/attach]

Hier wird zwar bereits angenommen, dass S2 isomorph zur abelschen Gruppe Z/2Z ist, aber ich würde mir das gerne mal etwas verdeutlichen, um etwas mehr hinter das Thema zu steigen.




Meine Ideen:
Das Problem dabei ist, dass ich den Homomorphismus nicht zeigen kann.

Ich habe es für folgendes Beispiel: . e -> [0] ab
auf mehrere Arten versucht zu zeigen und habe dabei für S2 * als Verknüpfung gewählt und für Z/2Z +

ich verstehe auch nicht genau wie man e auf [0] abbildet da [0] = {...-2p,-p,0,p,2p...}

Es wäre wirklich super, wenn mir jemand ein konkretes Beispiel für einen Fall geben könnte. Ich habe mich jetzt sehr lange damit beschäftigt und gewinne einfach keine Erkenntnis daraus.

Liebe Grüße
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus S2 und Z/2Z
Z/2Z und S2 sind zwei Gruppen mit gleicher Struktur. Das ist entscheidend. Nicht, dass [0] eine Restklasse ist.

Zitat:

Das Problem dabei ist, dass ich den Homomorphismus nicht zeigen kann.

Das ist kein sinnvoller deutscher Satz.

Zitat:

ich verstehe auch nicht genau wie man e auf [0] abbildet da [0] = {...-2p,-p,0,p,2p...}

Du musst näher erläutern, wo genau das Problem liegt. In Z/2Z liegen zwei Elemente. Wichtig ist, wie sich diese beiden Elemente innerhalb dieser Gruppe verhalten und welche Eigenschaften sie haben.

In Z/2Z gilt: [0]+[0]=[0] und [1]+[1]=[0]

Beide Elemente sind also selbstinvers. Ferner ist natürlich

[1]+[0]=[0]+[1]=[1]

Mal dir einfach zu beiden Gruppen die entsprechenden Verknüpfungstafeln auf. Du wirst sehen, bei der S2 sieht es exakt genau so aus. Und dann sind sie halt isomorph (also "gleich" nach dem Verständnis des Algebraikers)

Vielleicht fällt dir das alles etwas leichter, wenn du mal ein bisschen von diesem Restklassendenken weg gehst. Diese Restklassentheorie ist hier gar nicht so zentral. Nimm dir eine Gruppe, die zwei Elemente enthält. Die nennen wir eben einfach mal 0 und 1. Wobei das egal ist. Ich könnte sie auch a und b nennen. Oder auch Otto und Gustav. Man definiert:

Otto * Otto = Otto
Gustav * Gustav = Otto
Otto * Gustav = Gustav * Otto = Gustav

Das ist auch ne Gruppe, die isomorph zur S2 ist. Die Bezeichnungen sind scheißegal. In der S2 sind die Elemente eben Abbildungen. In Z/2Z sind es Restklassen. Aber das ist doch egal. In der S2 sind beide Abbildungen selbstinvers. Sprich wenn ich eine Abbildung aus S2 mit sich selbst verknüpfe, lande ich bei der identischen Abbildung. Also dem neutralen Element der Gruppe S2.

Und genau das gleiche passiert auch in Z/2Z. Wenn ich eine der beiden Restklassen "mit sich selbst addiere", lande ich bei [0]. Dem neutralen Element der Gruppe Z/2Z.

Die Homomorphismuseigenschaften sind doch schnell gezeigt, wenn du das machen möchtest. Als Beispiel:



Und analog



Passt also. Probier du ruhig mal den Rest aus. Sprich analysiere und und

Ein bisschen abstraktes Denken ist hier schon erforderlich, insofern mag da gerade zu Studienbeginn ein bisschen Verwirrungspotential gegeben sein. Aber im Prinzip ist das gar nicht so schwer, wenn man das einmal verinnerlicht hat mit der Strukturgleichheit.

Bis auf Isomorphie gibt es sowieso nur eine einzige Gruppe der Ordnung 2. Sprich man muss sich gar nicht auf so konkrete Beispiele wie S2 oder Z/2Z stützen. Wenn ich eine Gruppe der Ordnung 2 habe, dann weiß ich sofort, die ist isomorph zu Z/2Z. Geht gar nicht anders. Egal ob man dabei nun S2 oder sonstwas vorliegen hat. Das sind alles nur irgendwelche Namen.
PhillyMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, ich denke, dass ich es verstanden habe durch deine Hilfe.

aber muss ich für die Homomorphismus Eigenschaften nicht 2 Elemente benutzen?

d.h. phi(e verknüpft t ) = [1] und phi[e]+phi[t] = [0]+[1]=[1]

kann ich salopp sagen, dass wenn ich in S2 e mit t verknüpfe wieder t raus kommt und das sich "genauso" verhält wie wenn ich [0] mit [1] addiere, da eben die [1] rauskommt und es sich somit so verhält wie in S2 nur eben mit e t und einer anderen Verknüpfung.

also irgendwie sowas (S2, kringel^^, e, e^(-1) ) = (Z/2Z, + , [0],[1] )


Achja und wie kann ich diese Eigenschaften sinnvoll nutzen? D.h. (wieder salopp gesagt) was bringt es mir wenn ich das weiß.

Denn im Skript geht es so weiter :
[attach]42755[/attach]

Und ich glaube, dass ich es isoliert betrachte auch verstehe. Allerdings fehlt mir irgendwie der rote Faden zwischen meinem ersten Eintrag und diesem Bild.

Liebe Grüße
PhillyMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Also in meiner Definition des Gruppenhomomorphismus steht nicht, dass die Gruppen abelsch sein müssen. Oder steckt die Überprüfung der Kommutativität in der Bedingung, dass es für alle g,h element G gelten muss und ich für g = h setzen kann und für h=g ?

Liebe Grüße
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhillyMathe
aber muss ich für die Homomorphismus Eigenschaften nicht 2 Elemente benutzen?

Ja. Man nimmt sich zwei allgemeine Gruppenelemente.

Aber in diesem konkreten Beispiel, wo du eine Gruppe mit überhaupt nur zwei Elemente vorliegen hast, gibt es ja nicht allzuviele verschiedene Möglichkeiten, zwei Elemente zu verknüpfen. Genauer gesagt nur vier davon. Abelsch berücksichtigt sogar nur drei. Ich hab eins vorgerechnet und die anderen drei (zwei) darfst du machen. Du wollstest doch gerne ganz genau wissen, warum die vorgegebene Abbildung einen Isomorphismus darstellt.

Und sorry, aber ansonsten ist der Großteil deiner Formulierungen für mich komplett unverständlich.

@PhillyMathe: Gruppenhomomorphismen kann man natürlich auch zwischen nicht-abelschen Gruppen konstruieren. Diese Aufgabe bezieht sich aber ja nun auf ein sehr konkretes Beispiel, nämlich Gruppen der Ordnung 2. Und die sind natürlich immer abelsch. Wie ich oben schon schrieb, gibt es ja (bis auf Isomorphie) auch nur eine einzige Gruppe der Ordnung 2.
PhillyMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe ein, dass ich an meiner Sprache noch arbeiten muss, aber es wurde mir dennoch einiges klar jetzt.

Danke für deine Bemühungen.

Das war eine sehr gute Erklärung.

Liebe Grüße.
 
 
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